漢字戦場　～ブレイズム漢字講座ブログ～

2631時間目　～諺・四字熟語～

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ　蝮蛇一たび手を螫せば、壮士は疾く腕を解く

Ⅱ　風を追い風をとる

Ⅲ　似合う釜の蓋

Ⅳ　先発すれば人を制す

Ⅴ　振鷺庭に充つ

Ⅵ　秦楚の道

Ⅶ　囚首喪面

Ⅷ　声明狼藉

Ⅸ　三釁三浴

Ⅹ　斬衰斉衰

特別問題A～数学～

三角形ABCは、AB＝5、BC＝10、AC＝9である。∠Aの二等分線と∠Bの外角の二等分線の交点をPとする。次の問いに答えなさい。

(!) 辺BC上に点QをAQ∥BPとなるようにとる。このとき、BQの長さを求めなさい。
(2) AQの長さを求めなさい。
(3) 点Pから直線AB上に下ろした垂線の足をHとする。PHの長さを求めなさい。　[ラ・サール高]

特別問題B～数学～

xy平面を水平とし、z軸を鉛直方向とする。空間のxz平面の曲線x＝1/(1＋z) (0≦z≦e³)(eは自然対数の底)をz軸の周りに回転してできる曲面を側面とし、平面z＝0上の円x²＋y²≦1を底面とする容器をQとする。容器Qに水を注いだところ、t秒後の水面は水平で、t秒後の水量V(t)と水面の半径x(t)との間にV'(t)＝πx(t)/{x(t)＋1}という関係がある。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 水面の高さz(t)と水面の上昇速度z'(t)の関係を求めよ。
(2) 高さz(t)はtの関数であるが、逆にtはzの関数として考えられ、dt/dz＝1/(dz/dt)が成り立つ。これとz(0)＝0を使って、t(z)をzの関数として表せ。
(3) 4秒後に水は容器Qからあふれ出ているかどうか調べよ。　[滋賀医大]

2631時間目模範解答

Ⅰ　蝮蛇一たび手を螫せば、壮士は疾く腕を解く・・・ふくだひと(たび)て(を)さ(せば)、そうし(は)はや(く)うで(を)と(く)
意味：ぐずぐずしていれば、生命が危ない。大事のときには、害の他に及ぶことを憂えて、勇気をもってその本を断つのである。

Ⅱ　風を追い風をとる・・・かぜ(を)お(い)かぜ(をとる)
意味：実態がないのにことをなすたとえ。

Ⅲ　似合う釜の蓋・・・にあ(う)かま(の)ふた
意味：それぞれに相応しい相手がいること。

Ⅳ　先発すれば人を制す・・・せんぱつ(すれば)ひと(を)せい(す)
意味：物事は、先に手を下せば必ず相手に勝つ。

Ⅴ　振鷺庭に充つ・・・しんろにわ(に)み(つ)
意味：清廉潔白の賢士が朝廷に充満することのたとえ。

Ⅵ　秦楚の道・・・しんそ(の)みち
意味：遠い道のりに例える。

Ⅶ　囚首喪面・・・しゅうしゅそうめん
意味：なりふりかまわぬことのたとえ。

Ⅷ　声明狼藉・・・せいめいろうぜき
意味：評判を落として、それが回復しないこと。

Ⅸ　三釁三浴・・・さんきんさんよく
意味：相手を大切に思う心を表す語。

Ⅹ　斬衰斉衰・・・だんさいしさい
意味：喪服の種類。

特別問題A～数学～

(1) ∠BQA＝∠PBQ＝∠BAQよりBQ＝BA　よってBQ＝5
(2) AからBCに垂線AKをひき、BK＝xとする。5²－x²＝9²－(10－x)²より
x＝11/5、KQ＝14/5、AK＝√{5－(11/5)²}＝6√14/5　∴AQ＝√{(14/5)²＋(6√14/5)²}＝2√7
(3) △PBH∽△AQK、AQ∥BPよりPH：AK＝PB：AQ＝BR：QR
BR：CR＝AB：AC＝5：9よりBR＝5/(5＋9)×10＝25/7、QR＝5－25/7＝10/7
よって、PH：6√14/3＝25/7：10/7　∴PH＝3√14

特別問題B～数学～

(1) 水面の高さがzのときの体積Vは$V=\pi\int^z_0 \frac{ds}{(1+s)^2}$だから
dV/dz＝π/(1＋z)²　よってdV/dt＝dV/dz、dz/dt＝z'(t)/(1＋z)²である。
一方、dV/dt＝πx(t)/(1＋x(t))＝π/(z(t)＋2)だから、z'/(1＋z)²＝1/(z＋2)
よってz'＝(1＋z)²/(z＋2)
(2) dt/dz＝1/(dz/dt)＝1/(z＋1)＋1/(z＋1)²
∴$t=\int(\frac{1}{z+1}+\frac{1}{(z+1)^2})dt=\log(1+z)-\frac{1}{1+z}+C$
t＝0のときz＝0だからC＝1、よって、t＝log(1＋z)－1/(1＋z)＋1
(3) f(x)＝log(1＋x)－x/(1＋x)とすると、f'(x)＝1/(1＋x)－1/(1＋x)²＞0 (x＞0)よりf(x)は強い単調増加だからx＞0のときf(x)＞f(0)＝0
ところで、log(1＋e³)－1/(1＋e³)＋1＝loge³(1＋e^-3)－1/{e³(1＋e^-3)}＋1＝log(1＋e^-3)－1/{e³(1＋e^-3)}＋1＝log(1＋e^-3)－e^-3/(1＋e^-3)＋4＞4
dt/dz＝(z＋2)/(1＋z)²＞0 (z≧0)よりtはzの単調増加関数であり、z＝e³のときt＞4なのでQからあふれていない。　■

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