漢字戦場　～ブレイズム漢字講座ブログ～

2614時間目　～BASIC～

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ　大拝

Ⅱ　媒労

Ⅲ　宴惰

Ⅳ　貞女は二夫に見えず

レベルⅡ

Ⅰ　平滑流暢

Ⅱ　沢畔

Ⅲ　肺腑の言

レベルⅢ

Ⅰ　礟撃

Ⅱ　緪升

Ⅲ　耦意

特別問題A～数学(Nomal)～

次の[　]に入る数字を埋めよ。

整式P(x)は、P(x²)＝(x²＋1)P(x)－x²、P(2)＝7を満たす。このときP(5)＝[　]である。　[上智大]

特別問題B～数学(Nomal)～

xy平面上の2点(－1,0),(1,0)からの距離の積が1である点全体のなす集合をCとする。点P(x,y)の原点Oからの距離をr、x軸の正の向きとOPのなす角をθとすると(x,y)＝(rcosθ,rsinθ)が成り立つ。

(1) Cは極方程式r＝2cos2θで定義される曲線になることを示せ。
(2) C上でx座標が最大になる点の座標を求めよ。また、y座標が最大になる点の座標を求めよ。
(3) Cの概形を図示せよ。
(4) Cで囲まれる図形の面積を求めよ。　[上智大]

2614時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ　大拝・・・たいはい
意味：最小に除せられること。また、宰相をいう。

Ⅱ　媒労・・・ばいろう
意味：媒介者が骨を折る。

Ⅲ　宴惰・・・えんだ
意味：たのしみ怠る。身の締まりがないこと。

Ⅳ　貞女は二夫に見えず・・・ていじょ(は)にふ(に)まみ(えず)
意味：貞節な婦人は最初に結婚した相手に操を立てて、夫が死んでも生涯再婚はしない。

レベルⅡ

Ⅰ　平滑流暢・・・へいかつりゅうちょう
意味：なめらかで、よどみがないさま。

Ⅱ　沢畔・・・たくはん
意味：沼や池のほとり。

Ⅲ　肺腑の言・・・はいふ(の)げん
意味：心の奥底から出た、真実のこもった言葉。

レベルⅢ

Ⅰ　礟撃・・・ほうげき
意味：大砲で撃つこと。砲撃。

Ⅱ　緪升・・・こうしょう
意味：すみやかにのぼること。

Ⅲ　耦意・・・ぐうい
意味：気に入ること。気が合うこと。

特別問題A～数学～

P(x²)＝(x²＋1)P(x)－x²・・・①、P(x)は定数関数のときP(2)＝7からP(x)＝7となるが、①は7＝7(x²＋1)－x²となり不適。
P(x)がn(≧1)次式のとき、①は左辺が2n次式、右辺が(2＋n)次式であるからn＝2。また、①でxの代わりに－xとおくと
P(x²)＝(x²＋1)P(－x)－x²・・・②　①と②から(x²＋1)P(x)－x²＝(x²＋1)P(－x)－x²
x²＋1＞0だからP(x)＝P(－x)　したがってP(x)は偶関数であり、P(x)＝ax²＋bとおける。このとき①は
ax⁴＋b＝(x²＋1)(ax²＋b)－x²　ax⁴＋b＝ax⁴＋(a＋b－1)x²＋b
これよりa＋b－1＝0・・・③　また、P(2)＝7より4a＋b＝7・・・④
③、④よりa＝2、b＝1　よってP(x)＝2x²－1よりP(5)＝49

特別問題B～数学～

(1) 集合Cの点を(x,y)とすると√{(x＋1)²＋y²}・√{(x－1)²＋y²}＝1・・・①
両辺を平方してx²＋y²＝r²を用いると(r²＋2x＋1)(r²－2x＋1)＝1→(r＋1)²－4x＝1
x＝rcosθであるからr²(r²＋2－4cos²θ)＝0　r＝0すなわち(x,y)＝(0,0)は①を満たす。
r≠0のときr²＋2－4cos²θ＝0→r²＝2(2cos²θ－1)＝2cos2θ・・・②
よって、Cは極方程式②で定義される曲線となる。
(2) r²＝2cos2θ≦2から0≦r≦√2　r＝√2となるのはcos2θ＝1からcosθ＝±1
よって、x＝rcosθ≦√2であり、x座標が最大になる点の座標は(√2,0)
y²＝r²sin²θ＝2cos2θsinθ＝2(1－2sin²θ)sin²θ＝－4(sin²θ－1/4)²＋1/4≦1/4
y＞0のとき等号成立はsinθ＝1/2のときy＝1/2で、r²＝2(1－2sin²θ)＝1からr＝1
このときx＝rcosθ＝±√3/2であるからy座標が最大になる点の座標は(±√3/2,1/2)
(3) f(θ)＝2cos2θとおく。2cos2θ＝r²≧0であるから0≦θ≦2πでは
0≦θ≦π/4、3π/4≦θ≦5π/4、7π≦θ≦θ≦2π、f(2π－θ)＝f(π－θ)＝f(π＋θ)＝f(θ)がなりたつので、Cはx軸、y軸および原点に関して対称である。
また、0≦θ≦π/4ではf'(θ)＝－4sin2θ≦0　したがってこの範囲ではrはθの減少関数であり、Cの概形は図となる。
(4) 求める面積は対称性を利用して
$4\int^{\frac{\pi}{4}}_0 \frac{1}{2}r^2 dθ$

$=4\int^{\frac{\pi}{4}}_0 \cos2θdθ$

$=[2\sin2θ]^{\frac{\pi}{4}}_0=2$

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