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2582時間目 ～漢検一級～
次の漢字の読みを記せ。
Ⅰ 塞堡
Ⅱ 鹹菜
Ⅲ 香筵
Ⅳ 敦愿
Ⅴ 散舒
Ⅵ 殷憂
Ⅶ 矩誨
Ⅷ 訛闕
Ⅸ 霽朝
Ⅹ 費勁
Ⅺ 袂圜
Ⅻ 覯閔
特別問題A～数学～
次の空欄を埋めなさい。
1以上の整数nに対して定義されるanについて、a1＝1とし、xy平面における曲線y＝x3上の点An(an,an3)における接線をLnとする。直線Lnとx軸の交点Bn+1(an+1,0)とすると、an+1＝[ア]anが成り立つ。また、y＝x3と線分AnBn+1およびx軸によって囲まれる部分の面積をSとするとS1＝[イ]、$\displaystyle \sum^x_{k=1}S_n$＝[ウ]である。 [岩手医科大]
特別問題B～数学～
xy平面上に、円C1：x2＋y2＝25および点P(1,0)を通る円C2がある。C1とC2は点Q(3,4)で交わり、QにおけるC1の接線とC2の接線は垂直である。C2とx軸との交点のうちPと異なる点をRとする。次の問いに答えよ。
(1) C2の中心の座標を求めよ。
(2) Rの座標を求めよ。
(3) P,Rを通るすべての円Cについて、次が成り立ちことを示せ。
C,C1との2交点のどちらにおいても、その点におけるCの接線とC1の接線は垂直である。 [横浜国立大]
2582時間目模範解答
Ⅰ 塞堡・・・さいほう
意味：敵の侵入を防ぐ為に設けたとりで。
Ⅱ 鹹菜・・・かんさい
意味：塩漬けにした野菜。
Ⅲ 香筵・・・こうえん
意味：聞き香の会。また、その席。
Ⅳ 敦愿・・・とんげん
意味：情が厚くてすなおなこと。
Ⅴ 散舒・・・さんじょ
意味：散らし広げること。散り広げること。
Ⅵ 殷憂・・・いんゆう
意味：深く大きな憂い。
Ⅶ 矩誨・・・くかい
意味：確かな法則を以て教える。
Ⅷ 訛闕・・・かけつ
意味：過って欠ける。また間違ったりなくなったりする。
Ⅸ 霽朝・・・せいちょう
意味：雨の晴れた朝。
Ⅹ 費勁・・・ひけい
意味：骨を折る。
Ⅺ 袂圜・・・べいえん
意味：袖の、脇下からそいで丸くしたところ。
Ⅻ 覯閔・・・こうびん
意味：うれえにあう。悲しい目に遭う。
特別問題A～数学～
y＝x3、y'＝3x2 曲線上の点An(an,an3)における接線Lnの方程式は
y＝3an2x－2an3 これとx軸の交点がBn+1(an+1,0)であるからan+1＝2an/3よりan＝a1(2/3)n-1＝(2/3)n-1
そしてSnは
$S_n=\int^{a_n}_0 x^3 dx-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}a_n\cdot a^3_n$
$=\left[\frac{1}{4}x^4 \right]^{a_n}_0-\frac{1}{6}a_n^4=\frac{a_n^4}{12}$
$=\frac{1}{12}\{(\frac{2}{3})^{n-1}\}^4=\frac{1}{12}(\frac{16}{81})^{n-1}$
よってS1＝1/12
$\displaystyle \sum^\infty_{n=1} S_n=\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{1-\frac{16}{81}}=\frac{27}{260}$
ア：2/3 イ：1/12 ウ：27/260
特別問題B～数学～
(1) QにおけるC1の接線は、半径OQと垂直である。条件によりQにおいてC1の接線とC2の接線は直交しているのだからOQがC2の接線である。よってQにおけるC1の接線はC2の中心を通ることになる。
QにおけるC1の接線は3x＋4y＝25・・・①
他方、PQの中点は(2,2)、直線PQの傾きは2であるから線分PQの垂直二等分線は(x－2)＋2(y－2)＝0 x＋2y＝6・・・②
C2の中心は①、②の交点だから連立して解くと、(13,－7/2)
(2) C2の方程式は(x－13)2＋(y＋7/2)2＝122＋(7/2)2
ここでy＝0とおくと(x－13)2－122＝0→(x－1)(x－25)＝0 x＝1,25
x軸との交点のうち異なるものがRだからR(25,0)
(3) 円CはPRを弦とするからその垂直二等分線x＝13上に中心を持つ。その中心をk(13,k)とすると、KP＝√(122＋k2)に等しい。
CとC1の交点の任意の一つをSとおくと、OSとKSはそれぞれC1とCの半径だからOS2＝25、KS2＝122＋k2
また、kの座標からOK＝132＋k2、ゆえにOS2＋KS2＝OK2が成り立つので、△OSKは∠OSK＝90°の直角三角形である。
したがって、OS⊥KSであり、SにおけるCの接線とC1の接線は垂直である。