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2574時間目 ～漢検一級～
次の問いに答えよ。
漢検一級配当読み
次の漢字の読みを記せ。
Ⅰ 逕啓者
Ⅱ 貪廉
Ⅲ 遺鏃
Ⅳ 饑倦
四字熟語・諺
次の四字熟語・諺の読みと意味を記せ。
Ⅰ 星月皎潔にして、明河天に在り
Ⅱ 春蛙秋蝉
Ⅲ 朱墨爛然
当て字・熟字訓
次の当て字・熟字訓の読みを記せ。
Ⅰ 班田
Ⅱ 胡頽子
Ⅲ 香橙
特別問題A～数学～
さいころを1000回投げるとき、1の目がちょうどk回出る確率をPkとおく。Pkが最大となるkを求めよ。 [信州大]
特別問題B～数学～
自然数nに対し、$I_n=\int^{\frac{\pi}{4}}_0 \cos^n 2θ\sin^3θdθ$とする。
(1) I2の値を求めよ。
(2) xy平面上で原点Oから点P(x,y)への距離をr、x軸の正の方向と半直線OPのなす角をθとする。方程式r＝sin2θ(0≦θ≦π/2)で表される曲線をy＝xの周りに回転して得られる曲面が囲む立体の体積をVとするとき、V＝3πI3＋2πI2と表されることを示せ。 [京都大]
2574時間目模範解答
漢検一級配当読み
Ⅰ 逕啓者・・・けいけいしゃ
意味：手紙の書き出しに用いる言葉。早速申し上げますが。の意。
Ⅱ 貪廉・・・たんれん
意味：欲が深いことと、欲がないこと。
Ⅲ 遺鏃・・・いぞく
意味：なくした矢じり。些細な損失のたとえ。
Ⅳ 饑倦・・・きけん
意味：食物に乏しく、うみつかれる。
四字熟語・諺
Ⅰ 星月皎潔にして、明河天に在り・・・せいげつこうけつ(にして)、めいかてん(に)あ(り)
意味：白く清らかな星月夜で、天の川がくっきり浮かんでいる。
Ⅱ 春蛙秋蝉・・・しゅんあしゅうぜん
意味：無用の言論。
Ⅲ 朱墨爛然・・・しゅぼくらんぜん
意味：学問や研究に専念することのたとえ。
当て字・熟字訓
Ⅰ 班田・・・あかちだ
意味：令制で、人民にわかち与えた口分田。
Ⅱ 胡頽子・・・ぐみ[植][https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%9F_(%E6%A4%8D%E7%89%A9)]
グミ科グミ属のの総称。
Ⅲ 香橙・・・くねんぼ[植][https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%8D%E3%83%B3%E3%83%9C]
ミカン科の常緑小高木。
特別問題A～数学～
さいころを1000回投げるとき、1の目がちょうどk回出る確率は
Pk＝1000Ck(1/6)k(5/6)1000-k よってPk-1＝1000Ck-1(1/6)k-1(5/6)1001-k
ゆえにPk/Pk-1＝{1000Ck(1/6)k(5/6)1000-k}÷{Pk-1＝1000Ck-1(1/6)k-1(5/6)1001-k}→{1000Ck・1/6}÷{1000Ck-15/6}→1000!/k!(1000－k)!・{(k－1)!(1001－k)!}/1000!・1/5＝(1001－k)/5k
(i) Pk/Pk-1＜1とすると(1001－k)/5k＜1 k＞1001/6＝166.83・・・
よって、k≧167のときPk-1＞Pk
(ii) Pk/Pk-1＞1とするとk＜166/83・・・
よってk≦166のときPk-1＜Pk
(i),(ii)よりP0＜P1＜・・・＜P165＜P166＞P167＞・・・＞P1000
したがって、Pkが最大となるkの値はk＝166
特別問題B～数学～
(1) $I_2=\int^{\frac{\pi}{4}}_0 \cos^2 2θ\sin^3θdθ$
$=\int^{\frac{\pi}{4}}_0 (2\cos^2θ-1)^2(1-\cos^2θ)\sinθdθ$
$=\int^{\frac{1}{\sqrt2}}_1 (2t^2-1)^2(1-t^2)(-dt) (t=\cosθ)$
$=\int^1_{\frac{1}{\sqrt2}}(-4t^6+8t^4-5t^2+1)dt$
$=\left[-\frac{4}{7}t^7+\frac{8}{5}t^5-\frac{5}{3}t^2+t \right]^1_{\frac{1}{\sqrt2}}$
$=\frac{38-26\sqrt2}{105}$
(2) 方程式r＝sin2θ(0≦θ≦π/2)で表される曲線は図の青。そこで、始点をy＝xにとったときのy≧xにある部分の曲線の極方程式は
r＝sin{2(π/4＋φ)}＝cos2φ(0≦φ≦π/4)
φをθにしておくと、r＝cos2θで図のようにX軸を直線y＝x(赤)にとり、Y軸をy＝－x(青)にとると
X＝rcosθ＝cos2θcosθ、Y＝rsinθ＝cos2θsinθ
したがって
$V=\int^1_0 \pi Y^2 dX$
$=\pi\int^0_{\frac{\pi}{4}}\cos^2 2θ\sin^2θ(-2\sin2θ\cosθ-\cos2θ\sinθ)dθ$
$=\pi \int^{\frac{\pi}{4}}_0 \cos^22θ\sin^22θ(4\cos^2θ\sinθ+\cos2θ\sinθ)dθ$
$=\pi \int^{\frac{\pi}{4}}_0 \cos^22θ\sin^3θ\{2(1+\cos2θ)+\cos2θ\}dθ$
$=\pi \int^{\frac{\pi}{4}}_0(3\cos^22θ\sin^3θ+\cos^22θ\sin^3θ)dθ$
$=3\pi I_3+2 \pi I_2$