漢字戦場　～ブレイズム漢字講座ブログ～

2561時間目　～BASIC～

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ　織坊

Ⅱ　断交

Ⅲ　新異

Ⅳ　西瓜舟の着いたよう

レベルⅡ

Ⅰ　寛肆

Ⅱ　昌基

Ⅲ　稜爾

レベルⅢ

Ⅰ　釜底の游魚

Ⅱ　鍾憐

Ⅲ　酇列

特別問題A～物理～

図のようになめらかな斜面ABとなめらかな水平面をもった質量M[kg]の台が、水平な床の上に静止している。斜面ABと水平面BCはなめらかにつながっている。いま、水平面BCから高さがh[m]の点Aから質量m[kg]の小球を斜面に沿って静かにすべらせる。但し重力加速度の大きさを[m/s²]とし、速さは床に対する速さとする。

(1) 台が床に固定されている場合、点Aから滑り落ちた小球が点Cを通過する瞬間の速さv1[m/s]を求めよ。

(2) 台が滑らかな床の上を自由に動くことができる場合、点Aから滑り落ちた小球が点Cを通過する瞬間の小球の速さv₂[m/s]と台の速さV₂[m/s]を求めよ。　[大阪市立大]

特別問題B～数学～

関数f(x)＝2√xe^-x (x≧0)について次の問いに答えよ。

(1) f'(a)＝0、f''(b)＝0を満たすa,bを求め、y＝f(x)のグラフの概形を描け。但し、\[ \lim_{x\to\infty}\sqrt{x}e^{-x}=0 \]は証明なしで用いてよい。

(2) k≧0のとき、$V(k)=\int^k_0 xe^{-2x}dx$をkを用いて表せ。

(3) (1)で求めたa,bに対して曲線y＝f(x)とx軸および2直線x＝a、x＝bで囲まれた図形をx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ。　[筑波大]

2561時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ　織坊・・・しょくぼう

意味：はたを織る部屋。

Ⅱ　断交・・・だんこう

意味：交際をやめること。特に国家間の交流を断つこと。

Ⅲ　新異・・・しんい

意味：新しくて珍しい。また、その物。

Ⅳ　西瓜舟の着いたよう・・・すいかぶね(の)つ(いたよう)

意味：坊主頭がたくさん集まった形容。

レベルⅡ

Ⅰ　寛肆・・・かんし

意味：広い。広々としている。

Ⅱ　昌基・・・しょうき

意味：基礎を立派に打ち立てる。また、その立派な基礎。

Ⅲ　稜爾・・・りょうじ

意味：寒さが身にしみるさま。

レベルⅢ

Ⅰ　釜底の游魚・・・ふてい(の)ゆうぎょ

意味：死が目前に迫っていることのたとえ。

Ⅱ　鍾憐・・・しょうれん

意味：非常にいつくしむこと。

Ⅲ　酇列・・・さんれつ

意味：集まり連なること。

特別問題A～物理～

(1) 小球について、点Aと点Cを比較して力学的エネルギーの法則より

0＋mgh＝1/2・mv₁²＋0　よってv₁＝√(2gh) [m/s]

(2) 小球は台から垂直抗力を受けて運動している。このとき小球が点Cを通過するとき、小球、台はそれぞれ水平方向に速さv₂[m/s]、V₂[m/s]を持つ。運動量保存の法則より0＋0＝mv₂＋M(－V₂)・・・①

小球が台を押し動かすので小球単体では力学的エネルギー保存則は成り立たない。台のエネルギーの和を考えると0＋mgh＋0＝mv₂²/2＋MV₂²/2・・・②

①式と②式よりV₂を消去してmgh＝mv₂²/2＋M(mv₂²/M)²　∴v₂＝√(2Mgh/(m＋M))[m/s]

これを①式に代入してV₂＝m√{2gh/M(m＋M)} [m/s]

特別問題B～数学～

(1) f'(x)＝2・{x^-1/2/2・e^-x＋√x・(－e^x)}＝(1/√x－2√x)e^-x (x＞0)・・・①

f''(x)＝(－x^-3/2/2－2・x^-1/2・2)e^-x＋(1/√x－2√x)(－e^-x)＝(4x²－4x－1)e^-x/(2x√x)

①よりf'(a)＝0となるaは1/√a－2√a＝0　∴a＝1/2

②よりf''(b)＝0となるbは4b²－b－1＝0 (b＞0)　b＝(1＋√2)/2

これよりf(x)の増減、凹凸は図のようになり、f(1/2)＝√(2/e)

\[\lim_{x\to\infty}f(x)=0 \]、\[\lim_{x\to+0}f'(x)=+\infty \]

であるからグラフの概形は図。

(2) $V(k)=\int^k_0 xe^{-2x}dx$

$=\int x \left(-\frac{e^{-2x}}{2}\right)'dx$

$=\left[-\frac{x}{2}e^{-2x}\right]^k_0+\int^k_0 \frac{e^{-2x}}{2}dx$

$=-\frac{k}{2}e^{-2k}+\left[-\frac{e^{-2x}}{4}\right]^k_0$

$=-\frac{2k+1}{4}e^{-2k}+\frac{1}{4}$

(3) 求める体積をVとすると、(1),(2)の結果より

$V=\int^b_a \pi(2\sqrt x e^{-x})^2dx$

$=4\pi\int^b_a xe^{-2x}dx$

$=4\pi \{V(b)-V(a)\}$

$=4\pi\left\{-\frac{2+\sqrt{2}}{4}e^{-1-\sqrt2}-\left(-\frac{2}{4}e^{-1}\right)\right\}$

$=\left(\frac{2}{e}-\frac{2+\sqrt2}{e^{1+\sqrt2}}\right)$