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2540時間目 ～漢字一文字～
次の漢字の読みを記せ。
レベルⅠ
Ⅰ 滴る
Ⅱ 炒める
Ⅲ 等しい
レベルⅡ
Ⅰ 播く
Ⅱ 栞
Ⅲ 杷
レベルⅢ
Ⅰ 互に
Ⅱ 刪る
Ⅲ 誆く
Ⅳ 贚しい
特別問題A～数学～
図のように、△ABCがある。頂点B,Cからそれぞれ辺AC,ABに垂線を引き、辺AC,ABとの交点をそれぞれD,Fとし、線分BDと線分CEの交点をFとする。このとき、次の(1),(2)の問いに答えなさい。
(1) △BFE∽△CFDであることを証明しなさい。
(2) AC＝6cm、BE＝5cm、∠ABC＝45°のとき、線分AFの長さを求めよ。 [茨城公立高]
特別問題B～数学～
点P(a,b)から曲線y＝x3－xに対し、傾きが2以下の接線が3本引ける。このような点Pの存在範囲をSとする。
(1) Sを図示せよ。
(2) Sの面積を求めよ。 [一橋大]
2540時間目模範解答
レベルⅠ
Ⅰ 滴る・・・したた(る)
意味
①：水などが、滴になって垂れ落ちる。
②：美しさや鮮やかさがあふれるばかりに満ちている。
Ⅱ 炒める・・・いた(める)
意味：肉などを、少量の油でいりつけて料理する。
Ⅲ 等しい・・・ひと(しい)
意味
①：二つ以上の物事の間で、その数量・程度・形状などに相違がない。同じである。
②：二つ以上の物事の間に、性質・状況の上で同一性がある。よく似ている。
③：(「ひとしく」の形で)大勢が同じ行動をするさま。一斉に。
④：(「～とひとしく」の形で)時間的に同じであるさま。と同時に。
レベルⅡ
Ⅰ 播く・・・ま(く)
意味：植物の種子を畑などに散らす。また、土に散らし埋める。
Ⅱ 栞・・・しおり
意味：紙・布・革などで作り、書物の間に挟んで目じるしとするもの。
Ⅲ 杷・・・さらい
意味：長い柄の先に粗い歯をつけた、熊手のような道具。
レベルⅢ
Ⅰ 互に・・・かたみ(に)
意味：たがいに。かわるがわる。
Ⅱ 刪る・・・けず(る)
意味：除く。余分な字句を取り除く。
Ⅲ 誆く・・・あざむ(く)
意味：だます。まどわす。
Ⅳ 贚しい・・・まず(しい)
意味：金銭・物資などが乏しい。貧乏である。
特別問題A～数学～
(1) △BFEと△CFDにおいて∠BEF＝∠CDF(＝90°)・・・①
∠BFE＝∠CFD(対頂角)・・・②
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいから△BFE∽CFD ■
(2) ∠BEC＝∠BDC＝90°より、4点B,C,D,Eは線分AFを直径とする円周上にある。また、∠AEF＝∠ADF＝90°より4点A,E,F,Dは線分AFを直径とする円周上にあるから∠EAF＝∠EDF＝∠ECB＝45°
したがって、△AEFはAE＝FEの直角二等辺三角形である。
△AECで三平方の定理よりAE＝√(62－52)＝√(36－25)＝√11 (cm)
したがって、AF＝AE×√2＝√11×√2＝√22
特別問題B～数学～
(1) y＝x3－x・・・①よりy'＝3x2－1 よって曲線①上の点(t,t3－t)における接線の方程式はy－(t3－t)＝(3t2－1)(x－t) ∴y＝(3t2－1)x－2t3
この接線が点P(a,b)を通るからb＝(3t2－1)x＋2t3 ∴2t3－3at2＋a＋b・・・②
傾きが2以下であるから3t2－1≦2 ∴－1≦t≦1・・・③
更に接線の本数が3本であるから、tの3次方程式②が③の範囲で3つの異なる実数解をもてばよい。f(t)＝2t3－3at2＋a＋bとおくと
f'(t)＝6t2－6at＝6t(t－a) a＝0のとき、f'(t)＝6t2≧0 したがって、f(t)は増加関数で条件を満たさない。
a≠0のとき、f(t)の増減表は図
(A)のとき、求める条件はf(－1)＝－2－3a＋a＋b≦0 ∴b≦2a＋2
f(0)＝a＋b＞0 ∴b＝－a f(a)＝2a3－3a3＋a＋b＜0 ∴b＜a3－a
f(1)＝2－3a＋a＋b≧0 ∴b≧2a－2
(B)のとき、求める条件はf(－1)≦0よりb≦2a＋2
f(a)＞0よりb＞a3－a f(0)＜0よりb＜－a f(1)≧0よりb≧2a－2
よって点Pの存在範囲は図の青色部分(ここでは仮にa＝b＝1とした)
境界線は2直線b＝2a±2は含まれるが他は含まれない。
(2) (1)より
$S=2\{\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{2}{3}+\int^1_0 (a^3-a)da\}$
$=\frac{2}{3}+\left[\frac{a^4}{2}-a^2\right]^1_0$
$=\frac{1}{6}$