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2527時間目 ～漢検一級～
次の問いに答えよ。
漢検一級配当読み
次の漢字の読みを記せ。
Ⅰ 擡柴夫
Ⅱ 担笈
Ⅲ 甲櫃
Ⅳ 淪飄
四字熟語・諺
次の四字熟語・諺の読みと意味を記せ。
Ⅰ 水母の骨にあう
Ⅱ 刎頸の交わり
Ⅲ 蜂準長目
類義語
次の熟語の類義語を下の「 」から選び漢字で記せ。
Ⅰ 医術
Ⅱ 梧右
Ⅲ 等倫
「せいか・せいはい・とうけい・とうこう・らんしょう」
特別問題A～数学～
a5－12a4－36a3－81a＋1、a2－6aがともに有理数となるような無理数aを求めよ。 [防衛医大]
特別問題B～数学～
2点O(0,0),A(0,2)を直径とする円周からOを除いた部分を点Qが動く。点Aを通りx軸と平行な直線と直線OQの交点をRとする。点Qを通りx軸と平行な直線と、点Rを通りy軸と平行な直線との交点をPとする。点Pの軌跡をCとする。
(1) Cの方程式を求めよ。
(2) 正の実数aに対して、Cとxと2直線x＝a、x＝－aによって囲まれる図形を、x軸のまわりに1回転してできる立体の体積をV(a)とする。このとき、$\displaystyle \lim_{a\to\infty}V(a)$ を求めよ。 [千葉大]
2527時間目模範解答
漢検一級配当読み
Ⅰ 擡柴夫・・・たいさいふ
意味：薪を運ぶ人。
Ⅱ 担笈・・・たんきゅう
意味：本箱をになう。遊学すること。
Ⅲ 甲櫃・・・こうき
意味：鎧を入れる櫃。
Ⅳ 淪飄・・・りんぴょう
意味：零落れて進まないこと。
四字熟語・諺
Ⅰ 水母の骨にあう・・・くらげ(の)ほね(にあう)
意味：めったにない幸運にあうたとえ。
Ⅱ 刎頸の交わり・・・ふんけい(の)まじ(わり)
意味：心を許しあったきわめて親密な交際。
Ⅲ 蜂準長目・・・ほうせつちょうもく
意味：賢くて抜け目のない人相のこと。
類義語
Ⅰ 刀圭
意味：病気や傷を診察、治療する技術。
Ⅱ 砌下
意味：手紙の宛名に添えて書く脇付けの語。
Ⅲ 儕輩
意味：同じ仲間。同じ程度の仲間。
特別問題A～数学～
a5－12a4－36a3－81a＋1＝a{(a2)2－2・6a・a2＋(6a)2}－81a＋1＝a{(a2－6a)2－81}＋1・・・①
rを有理数として、a2－6a＝rとおくと、(a2－6a)2－81＝r2－81
この式は有理数で①の式も有理数であり、aは無理数であるからr2－81＝0 r＝±9
r＝－9のとき、a2－6a＋9＝0 a＝3となり不適。
r＝9のとき、a2－6a－9＝0 よってa＝3±√18＝3±3√2
特別問題B～数学～
(1) 2点O(0,0),A(0,2)を直径とする円の方程式はx2＋(y－1)2＝1・・・①
点Qは①上のOを除いた部分を動くから、その座標を(s,t)とおくと、s2＋(t－1)2＝1 (t≠0)・・・②
点Rは直線OQ上にあるから、その座標は実数kを用いて(ks,kt)と表すことができる。点Rは直線y＝2上にもあるからkt＝2 t≠0よりk＝2/t よって点Rの座標はR(2s/t,2)
点Pは、点Qを通りx軸と平行な直線と、点Rを通りy軸と平行な直線との交点だから、点Pの座標はP(2s/t,t)
点Pの軌跡Cの方程式を求める方x＝2s/t、y＝tとおくと
t＝y、s＝xy/2 これを②に代入してx2y2/4＋(y－1)2＝1(y≠0)
x2y2＋4(y－1)2＝4、x2y2＋4y2－8y＝0、y(x2y＋4y‐8)＝0
y≠0よりx2y＋4y－8＝0、(x2＋4)y＝8 ∴y＝8/(x2＋4)
(2) 正の実数aに対して図の赤色部をx軸の周りに1回転してできる立体の体積がV(a)である。Cはy軸に関して対称であるから
$V(a)=2\pi\int^a_0 \left(\frac{8}{x^2+4}\right)dx$
x＝2tanθとおくと、dx＝2/cos2θ x：0→a、θ：0→α 但し、a＝2tanαであり
$\displaystyle \lim_{a\to\infty}α=\frac{\pi}{2}$
である。また、1/(tan2θ＋1)＝cos2θだから
$V(a)=2\pi\int^a_0 \left(\frac{8}{4tan^2θ+4}\right)^2 \cdot\frac{1}{cos^2θ}dθ$
$=16\pi\int^a_0 \left(\frac{1}{tan^2θ+1}\right)^2 \cdot\frac{1}{cos^2θ}dθ$
$=16\pi\int^α_0\frac{cos^4θ}{cos^2θ}dθ$
$=16\pi\int^α_0 cos^2θdθ$
$=16\pi\int^α_0 \frac{1+cos2θ}{2}dθ$
$＝16\pi \left[\frac{θ}{2}+\frac{1}{4}sin2θ \right]^α_0$
$=4\pi[2θ+sin2θ]^α_0$
$=4\pi(2α+sin2α)$
ここで
$\displaystyle \lim_{a\to\infty}α=\frac{\pi}{2}$
より
$\displaystyle \lim_{a\to\infty}2α=\pi$
$\displaystyle \lim_{a\to\infty}sin2α=0$
よって
$\displaystyle \lim_{a\to\infty}V(a)=4\pi \cdot \pi=4\pi^2$