漢字戦場　～ブレイズム漢字講座ブログ～

2520時間目　～BASIC～

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ　藻思

Ⅱ　績文

Ⅲ　京師

Ⅳ　内界の財貨

レベルⅡ

Ⅰ　這回

Ⅱ　結撰

Ⅲ　性行淑均

レベルⅢ

Ⅰ　結廬

Ⅱ　窶小

Ⅲ　窺釁

特別問題A～数学～

2つの放物線y＝－x²、y＝x²－2x＋5の共有接線の方程式を求めよ。

特別問題B～数学～

座標平面上の放物線y＝x²に点(a,b) (但しb＜a²)から異なる2本の接線を引き、放物線との接点をそれぞれQ(q,q²),R(r,r²)(但しq＜r)とする。

(1) 2本の接線の方程式をa,bを用いて表せ。
(2) ∠PQR＝45°を満たす点Pの軌跡を求めて図示せよ。　[東京海洋大]

2520時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ　藻思・・・そうし
意味：詩文を作る才能。文才。

Ⅱ　績文・・・せきぶん
意味：文章を作る。

Ⅲ　京師・・・けいし
意味：みやこ。帝都。

Ⅳ　内界の財貨・・・ないかい(の)ざいか
意味：知識や芸能のように人の心の中に存在する無形の財産。

レベルⅡ

Ⅰ　這回・・・しゃかい
意味：このたび。今回。

Ⅱ　結撰・・・けっせん
意味：文章を作ること。

Ⅲ　性行淑均・・・せいこうしゅくきん
意味：性質や行為が善良で偏っていないさま。

レベルⅢ

Ⅰ　結廬・・・けつろ
意味：いおりを構えること。

Ⅱ　窶小・・・くしょう
意味：礼儀がなく、器量の小さいこと。

Ⅲ　窺釁・・・ききん
意味：すきをうかがう。

特別問題A～数学～

y＝－x²に対してy'＝－2x、よって放物線y＝－x²上の点(a,－a²)における接線の方程式は
y－(－a²)＝－2a(x－a)、すなわちy＝－2ax＋a²・・・①　この直線が放物線y＝x²－2x＋5にも接するための条件は、2次方程式x²－2x＋5＝－2ax＋a²、すなわちx²＋2(a－1)x－a²＋5＝0・・・②が重解を持つことである。②の判別式をDとすると
D/4＝(a－1)²－1・(－a＋5)＝2a²－2a－4＝2(a＋1)(a－2)
D＝0からa＝－1,2　この値を①に代入して求める共通接線の方程式はy＝2x＋1、y＝－4x＋4

特別問題B～数学～

(1) y＝x²よりy'＝2xだからQ(q,q²)とR(r,r²)における接線は
y＝2q(x－q)＋q²・・・①　y＝2r(x－r)＋r²・・・②
①、②の交点は②－①より2(r－q)x－(r²－q²)＝0
r－q＞0よりx＝(r＋q)/2、y＝qr
これがP(a,b)よりq＋r＝2a、qr＝b・・・③　よってq,rはx²－2ax＋b＝0の2つの解となり、a²－b＞0のとき、この解はx＝a±√(a²－b²)
よって2本の接線はy＝2(a±√(a²－b²))x－(a±√(a²－b²))
(2) ∠PQR＝45°のときPQ・PR＝|PQ||PR|cos45°・・・④
ここで③よりPQ＝(q－a,q²－b)＝((q－r)/2,q²－qr)＝(r－q)/2・(－1,－2q)
PR＝(r－a,r²－b)＝((r－q)/2,r²－qr)＝(r－q)/2・(1,2r)
④に代入するとr－q＞0より(r－q)²/4・(－1－4qr)＝(r－q)²/4・√{(1＋4q²)(1＋4r²)}・1/√2‐√2(1＋4qr)√{1－4{(q＋r)²－qr}＋16q²}
③より－√2(1＋4b)＝√{1＋4{(2a)²－2b}＋16b²}
b＜－1/4のとき両辺を平方すると2(4b＋1)²＝1＋16a²－8b＋16b²
16a²－16b－24b＝1、16a²－16(b＋3/4)²＝－8
∴a²/(1/√2)²－(b＋3/4)²/(1/√2)²＝－1 (b＜－1/4)　よって図のような双曲線になる。