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2504時間目 ～ADVANCED～
次の漢字の読みを記せ。
レベルⅠ
Ⅰ 燥涸
Ⅱ 津邏
Ⅲ 粃の先走り
Ⅳ 深厲浅掲
レベルⅡ
Ⅰ 擯卻
Ⅱ 峭蒨
Ⅲ 射韝
レベルⅢ
Ⅰ 香椿
Ⅱ 大虫杖
Ⅲ 粘魚鬚
特別問題A～数学～
放物線y＝2x2＋3x－2をx軸方向にa、y軸方向にbだけ平行移動すると、2点(1,0),(2,1)を通る。このとき、a,bの値を求めよ。 [北海道薬科大]
特別問題B～数学～
曲線y＝x3－xの接点で点(a,b)が通るものがちょうど2本存在する。
(1) a,bの満たすべき条件を求めよ。
(2) その2本の接線が直交するときのa,bの値を求めよ。 [一橋大]
2504時間目模範解答
レベルⅠ
Ⅰ 燥涸・・・そうこ
意味：かわきかれる。
Ⅱ 津邏・・・しんら
意味：渡し場を見回る役人。
Ⅲ 粃の先走り・・・しいら(の)さきばし(り)
意味：人に先立って騒ぎ出す無分別な者に例える。
Ⅳ 深厲浅掲・・・しんれいせんけい
意味：その場の状況に応じて適切な処理をすること。
レベルⅡ
Ⅰ 擯卻・・・ひんきゃく
意味：しりぞけてのけものにする。
Ⅱ 峭蒨・・・しょうせん
意味：鮮やかなさま。また、高くそびえるさま。
Ⅲ 射韝・・・しゃこう
意味：弓を射るとき左ひじにつけるもの。
レベルⅢ
Ⅰ 香椿・・・チャンチン[植]
センダン科の落葉高木。
Ⅱ 大虫杖・・・いたどり[植]
タデ科の多年草。
Ⅲ 粘魚鬚・・・やまがしゅう[植]
ユリ科の落葉藤本。
特別問題A～数学～
y＝2x2＋3x－2＝2(x＋3/4)2－25/8 よって放物線y＝2x2＋3x－2の頂点の座標は(－3/4,－25/8)
放物線y＝2x2＋3x－2を平行移動した放物線の方程式を実数p,qを用いてy＝2x2＋px＋qとすると
y＝2x2＋px＋qが点(1,0),(2,1)を通るから0＝2・12＋p＋q、1＝2・22＋2p＋q すなわちp＋q＝－2、2p＋q＝－7
これを解いてp＝－5、q＝3 よって放物線y＝2x2＋px＋qの方程式はy＝2x2－5x＋3＝2(x－5/4)2－1/8
ゆえに放物線y＝2x2－5x＋3の頂点の座標は(5/4,－1/8)
したがって、a,bの値はa＝5/4－(－3/4)＝2、b＝－1/8－(－25/8)＝3
特別問題B～数学～
(1) y＝x3－x・・・①、y'＝3x2－1
曲線①上の点(t,t3－t)における接線の方程式はy－(t3－t)＝(3t2－1)(x－t) ∴y＝(3t2－1)x－2t3
これが点(a,b)を通るには(3t2－1)a－2t3＝b ∴2t3－3at2＋a＋b＝0・・・②
いま、f(t)＝2t3－3at2＋a＋bとおくと、f'(t)＝6t2－6at＝6t(t－a)
①の接線で点(a,b)を通るものがちょうど2本存在する、すなわち②が異なる2つの実数解をもつ条件は、f(t)の極値が0となることだからf(0)＝0またはf(a)＝0 (a≠0)
f(0)＝0だからa＋b＝0 f(a)＝0から－a3＋a＋b＝0
よって条件はb＝－aまたはb＝a3－a (a≠0)
(2) (i) b＝－aのとき、②はt2(2t－3a)＝0 t＝0,3a/2
したがって、2接線の直交条件は－1・(3・9a2/4－1)＝－1 a2＝8/27
∴a＝±2√6/9
(ii) b＝a3－aのとき②は2t3－3at2＋a3＝0 (t－a)2(2t＋a)＝0
∴t＝a,－a/2 同様に(3a2－1)(3a2/4－1)＝－1 ∴9a4－15a2＋8＝0
これを満たす実数aの値はない。よって、(i),(ii)から(a,b)＝(±2√6/9,∓2√6/9)