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2496時間目 ～諺・四字熟語～
次の漢字の読みを記せ。
Ⅰ 芥子を千にも割る
Ⅱ 階を釈てて天に登る
Ⅲ 肉を以て餓虎に委す
Ⅳ 時に及んで当に勉励すべし
Ⅴ 重鼎の言を借る
Ⅵ 張冠李戴
Ⅶ 一視同仁
Ⅷ 心地光明
Ⅸ 薪水の労
Ⅹ 水性楊花
特別問題A～数学～
a1＝1、an+1＝2an－3n(n＝1,2,3,…)で定義される数列{an}の一般項を求めよ。 [京都府立大]
特別問題B～数学～
複素数zが1≦|z|≦2を満たすすべての範囲を動くとき、w＝(z＋i)/(z－1)が複素数平面上を動く範囲を図示せよ。但し、z≠1とする。 [お茶の水女子大]
2496時間目模範解答
Ⅰ 芥子を千にも割る・・・けし(を)ち(にも)わ(る)
意味：非常に細かいものをさらに細かくすることのたとえ。
Ⅱ 階を釈てて天に登る・・・かい(を)す(てて)てん(に)のぼ(る)
意味：不可能なことのたとえ。
Ⅲ 肉を以て餓虎に委す・・・にく(を)もっ(て)がこ(に)い(す)
意味：無駄に死ぬことのたとえ。犬死すること。
Ⅳ 時に及んで当に勉励すべし・・・とき(に)およ(んで)まさ(に)べんれい(すべし)
意味：しかるべきに時を失うことなく、何事につけても励むべきである。
Ⅴ 重鼎の言を借る・・・ちょうてい(の)げん(を)か(る)
意味：人に物を依頼するときの言葉。
Ⅵ 張冠李戴・・・ちょうかんりたい
意味：名と実が一致しないたとえ。
Ⅶ 一視同仁・・・いっしどうじん
意味：差別することなくすべての人を見て愛すること。
Ⅷ 心地光明・・・しんちこうめい
意味：心が清らかで正しく広いこと。
Ⅸ 薪水の労・・・しんすい(の)ろう
意味：人に仕えて骨身を惜しまず働くこと。
Ⅹ 水性楊花・・・すいせいようか
意味：心が定まらないたとえ。浮気の女を例えていう。
特別問題A～数学～
与えられた漸化式でn＝k＋1、n＝kとおくと
ak+2－2ak+1－3(k＋1)、ak+1＝2ak－3k
この2式の辺辺を引くと
ak+2－ak+1＝2(ak+1－ak)－3 数列{an}の階差数列を{bn}とすると
bk+1－2bk－3 (k＝1,2,3,…) 特性方程式α＝2α－3を解くとα＝3であるから両辺から3を引くと
bk+1－3＝(2bk－3)－3＝2(bk－3)
また、a2＝2a1－3＝－1よりb1＝a2－a1＝－2
よって数列{bk－3}は初項b1－3＝－5、公比2の等比数列である。
∴bk－3＝5・2k-1 すなわちbk＝－5・2k-1＋3
n≧2のとき
$\displaystyle a_n=a_1+
\sum_{k=1}^{n-1}b_k=1+\sum^{n-1}_{k=1}(-5 \cdot 2^{k-1}+3)$
$=1+\frac{-5(2^{n-1}-1)}{2-1}+3(n-1)=5 \cdot 2^{n-1}+3n+3$
この式はn＝1のときにも成り立つ。
したがって、an＝－5・2n-1＋3n＋3
特別問題B～数学～
w＝(z＋i)/(z－1)から(w－1)z＝w＋i⇔z＝(w＋i)/(w－1)
これを1≦|z|≦2に代入して1≦|(w＋i)/(w－1)|≦2⇔|w－1|≦|w＋i|≦2|w－1|
ここでw＝x＋yi(x,y：実数)とおくと
|x－1＋yi|≦|x＋(y＋1)i|≦2|x－1＋yi|⇔(x－1)2＋y2≦x2＋(y＋1)2≦4{(x＋1)2＋y}
∴・－x≦y
・(x－4/3)2＋(y－1/3)2≧8/9
したがって、点wの動く範囲は図の斜線部分で境界も含む。