漢字戦場　～ブレイズム漢字講座ブログ～

2490時間目　～諺・四字熟語～

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ　日天様掛けて

Ⅱ　二千里の外故人の心

Ⅲ　畚土の基は高きを成す能わず

Ⅳ　得たり賢し

Ⅴ　笑壷に入る

Ⅵ　直截簡明

Ⅶ　下陵上替

Ⅷ　佳兵不祥

Ⅸ　田夫野人

Ⅹ　民殷国富

特別問題A～数学～

nを正の偶数とする。条件x≧0、y≧x/2、y≦－x/2＋nを満たす整数解(x,y)の個数を求めよ。　[津田塾大]

特別問題B～数学～

点Oを原点をする座標空間内で、一辺の長さが1の正三角形OPQを動かす。また、点A(1,0,0)に対して、∠AOPをθとする。但し、0°≦θ≦180°とする。

(1) 点Qが(0,0,1)にあるとき、点Pのx座標がとりうる値の範囲と、θがとりうる値の範囲を求めよ。
(2) 点Qが平面x＝0上を動くとき、辺OPが通過しうる範囲をKとする。Kの体積を求めよ。　[東京大]

2490時間目模範解答

Ⅰ　日天様掛けて・・・にってんさまか(けて)
意味：お天道様に誓って。神かけて。

Ⅱ　二千里の外故人の心・・・にせんり(の)そとこじん(の)こころ
意味：遠方にいる古くからの友人を思う心。

Ⅲ　畚土の基は高きを成す能わず・・・ほんど(の)もとい(は)たか(きを)な(す)あた(わず)
意味：どんなに頑張っても、基礎がしっかりしていなければ大きなことはできないというたとえ。

Ⅳ　得たり賢し・・・え(たり)かしこ(し)
意味：自分に都合よく事が運び、満足して発する言葉。

Ⅴ　笑壷に入る・・・えつぼ(に)い(る)
意味：大いに笑い興じる。思い通りになったと喜ぶ。

Ⅵ　直截簡明・・・ちょくせつかんめい
意味：まわりくどくなく、簡潔で分かりやすいさま。

Ⅶ　下陵上替・・・かりょうじょうたい
意味：世の中が大いに乱れた様子。

Ⅷ　佳兵不祥・・・かへいふしょう
意味：武器を不吉なものとして戦争を批判した語。

Ⅸ　田夫野人・・・でんぷやじん
意味：教養がなく、礼儀を知らない粗野な人。

Ⅹ　民殷国富・・・みんいんこくふ
意味：国家も人民も裕福であるさま。

特別問題A～数学～

nは正の偶数であるから、n＝2m(m：整数)とおける。
与えられた不等式の表す領域は、y軸、y＝x/2、y＝－x/2＋2mで囲まれた図形の周および内部である。
領域内のうち、直線y＝k(k＝0,1,2,…,2m)上にある格子点の個数をa_kとおく。
[1]0≦k≦m－1のとき、a_kは不等式0≦x≦2kを満たす整数の個数に等しいから
$\displaystyle \sum_{k=0}^{m-1} a_k=\sum^{m-1}_{k=0}(2k+1)=2 \sum^{m-1}_{k=0}k+\sum^{m-1}_{k=0}1$

$=2\cdot \frac{1}{2}(m-1)m+m=m^2$
[2]k＝mのときa_k＝2m＋1
[3]m＋1≦k≦2mのとき、領域はy＝mに対して対称であるから[1]より
$\displaystyle \sum_{k=m+1}^{2m} a_k=\sum^{m-1}_{k=0}a_k=m^2$
[1]～[3]より求める格子点の数はm²＋(2m＋1)＋m²＝2m²＋2m＋1＝n²/2＋n＋1

特別問題B～数学～

(1) OQの中点をMとすると、MP＝√3/2よりx軸とMPへとの角をαとすると、OP＝(√3/2cosα,√3/2sinα,1/2)
したがって、OA・OP＝|OA||OP|cosθ　|OA|＝|OP|＝1より√3/2cosα＝cosθ
∴－√3/2≦cosθ≦√3/2　よって、点Pのx座標が取りうる値の範囲と、θの取りうる値の範囲は0°≦θ≦180°より
－√3/2≦x≦√3/2、30°≦θ≦150°
(2) 点Qが(0,0,1)にあるとき、点Pは円C：x²＋y²＝(√3/2)²、z＝1/2を描くので、このときOPが通過してできる曲面と円Cによってできる体積は、円錐z＝√(x²＋y²)/√3 (0≦z≦1/2)・・・①
個の円錐をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めておけばよい。
円錐①を平面x＝t(－√3/2≦t≦√3/2)で切ったときの切り口をyz平面に正射影した図形はz²/(t/3)²－y²/t²＝1・・・②で表される双曲線の一部分である。したがって、回転体を平面x＝tで切ったときの切り口の面積をS(t)とすると
S(t)＝π{(√{(3/4－t²)}²＋(1/2)²－(|t|/√3)²}＝π(1－4t²/3)
よって回転体の体積は
$\int^{\frac{\sqrt3}{2}}_{\frac {-\sqrt3}{2}}\pi \left(1-\frac{4}{3}t^2 \right)dt$

$=\frac{1}{6}|-\frac{3}{4}|\left(2 \cdot \frac{\sqrt3}{2}\right)^3 \pi=\frac{2 \sqrt 3}{3}\pi$