漢字戦場　～ブレイズム漢字講座ブログ～

2488時間目　～BASIC～

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ　騒人

Ⅱ　間者

Ⅲ　兼治

Ⅳ　士は己を知る者の為に死す

レベルⅡ

Ⅰ　衆酔独醒

Ⅱ　財鹵

Ⅲ　良庖

レベルⅢ

Ⅰ　辟廱

Ⅱ　閫外多事

Ⅲ　緇叟

特別問題A～数学～

2次方程式x²＋ax＋a－2＝0(aは定数)について以下の各問いに答えなさい。

(1) この方程式が常に2つの異なる実数解をもつことを示しなさい。
(2) この方程式の2つの異なる実数解をα、β(α＜β)とする。α²＋β²が最小となるようなaの値を求めなさい。
(3) aが(2)で求めた値のとき、β－αの値を求めなさい。　[高崎経済大]

特別問題B～数学～

xy平面上に原点Oを中心とする半径1の円S₁と点Aを中心とする半径1の円S₂がある。円S₂は円S₁に外接しながら、滑ることなく円S₁の周りを反時計回りに一周する。点Aの出発点は(2,0)であり、円S₂上の点でこのとき(1,0)に位置している点をPとする。点Aが(2,0)から出発し、(2,0)に戻ってくるとき、点Pの描く曲線をCとすると、図のようになる。また、動径OAとxの正の部分と為す角がθ(0≦θ≦2π)であるときの点Pの座標を(x(θ),y(θ))とする。このとき、次の問いに答えよ。

(1) x(θ)、y(θ)をθを用いて表せ。
(2) 曲線Cがx軸に関して対称であることを証明せよ。
(3) 曲線Cと円S₁によって囲まれた部分の面積を求めよ。　[長崎大]

2488時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ　騒人・・・そうじん
意味：詩文をよくする人。文人。また、心に憂いを抱く人。

Ⅱ　間者・・・かんじゃ
意味：敵方の様子を探る者。スパイ。

Ⅲ　兼治・・・けんち
意味：国などを二つ以上兼ね治めること。

Ⅳ　士は己を知る者の為に死す・・・し(は)おのれ(を)し(る)もの(の)ため(に)し(す)
意味：男子は自分の価値を知って待遇してくれる人のために、命を投げ出す。

レベルⅡ

Ⅰ　衆酔独醒・・・しゅうすいどくせい
意味：世の中はみな汚れており、自分一人が清く生きていること。

Ⅱ　財鹵・・・ざいろ
意味：かねやたから。財貨。

Ⅲ　良庖・・・りょうほう
意味：よい料理人。上手な料理人。

レベルⅢ

Ⅰ　辟廱・・・へきよう
意味：上代、天子が設けた学校。

Ⅱ　閫外多事・・・こんがいたじ
意味：軍事上の職務が多忙なこと。

Ⅲ　緇叟・・・しそう
意味：年寄りの僧。老僧。

特別問題A～数学～

(1) 判別式D＝a²－4(a－2)＝(a－2)²＋4＞0
よって与えられた方程式は、2つの異なる実数解をもつ。　■
(2) 2つの実数解α、βは解と係数の関係よりα＋β＝－a、αβ＝a－2
よってα²＋β²＝(α＋β)²－2αβ＝a²－2(a－2)＝(a－1)²＋3
これを最小にするaの値はa＝1
(3) このときα＋β＝－1、αβ＝－1
∴(β－α)²＝(α＋β)²－4αβ＝1＋4＝5
α＜βの時β－α＞0よりβ－α＝√5

特別問題B～数学～

(1) OA＝2からOA＝(2cosθ,2sinθ)　S₁とS₂の接点をQとする。
AQとx軸の正の向きとのなす角がθ＋πであるから、APとx軸の正の向きとのなす角は(θ＋π)＋θ＝2θ＋π
よって、AP＝(cos(2θ＋π),sin(2θ＋π))＝(－cos2θ,－sin2θ)
ゆえにOP＝OA＋AP＝(2cosθ－cos2θ,2sinθ－sin2θ)
したがって、x(θ)＝2cosθ－cos2θ、y(θ)＝2sinθ－sin2θ
(2) x(2π－θ)＝2cos(2π－θ)－cos2(2π－θ)＝2cosθ－cos2θ＝x(θ)
y(2π－θ)＝2sin(2π－θ)－sin2(2π－θ)＝－2sinθ＋sin2θ＝－y(θ)
よって、曲線Cはx軸に関して対称である。　■
(3) dx(θ)/dθ＝－2sinθ＋2sin2θ＝2sinθ(2cosθ－1)　0＜θ＜πにおいてdx(θ)/dθ＝0とするとθ＝π/3
また、x(π/3)＝3/2、x(π)＝－3
0≦θ≦π/3におけるyをy₁、π/3≦θ≦πにおけるyをy₂とすると、曲線Cで囲まれてできる図形のx軸の上側の部分の面積S₁は
$S_1=\int^{\frac{3}{2}}_{-3} y_2 dx-\int^{\frac{3}{2}}_{1}y_1 dx$

$=\int^{\frac{π}{3}}_π y(θ) \frac{dx(θ)}{dθ}dθ-\int^{\frac{π}{2}}_{0}y(θ) \frac{dx(θ)}{dθ}dθ$

$=\int^0_π y(θ) \frac{dx(θ)}{dθ}dθ=\int^0_π (2sinθ-sin2θ)(-2sinθ＋2sin2θ)dθ$

$=\int^π_0 (2sin^2θ-3sinθsin2θ+sin^22θ)dθ $

$=2 \int^π_0 \left (2・\frac{1-cos2θ}{2}-6sin^2θcosθ+\frac{1+cos4θ}{2} \right)dθ$

$＝2 \left [\frac{3}{2}θ-\frac{1}{2}sin2θ-2sin^3θ-\frac{1}{8}sin4θ \right]^π_0=3π$

よって、求める面積SはS＝2S₁－π・1²＝6π－π＝5π