漢字戦場　～ブレイズム漢字講座ブログ～

2483時間目　～諺・四字熟語～

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ　沙を聚めて之に雨降らす

Ⅱ　夭夭如たり

Ⅲ　歯無しの骨だくみ

Ⅳ　薪尽きて火滅ぶ

Ⅴ　択言択行無し

Ⅵ　尺璧非宝

Ⅶ　空中の楼閣

Ⅷ　嫁鶏随鶏

Ⅸ　一縷千鈞

Ⅹ　年災月殃

特別問題A～数学～

aを正の実数とし、a≠1/2とする。曲線C：y＝x^2上の2点P(1/2,1/4)とQ(a,a²)をとる。点Pを通りPにおけるCの接線と直交する直線をlとし、点Qを通りQにおけるCの接線と直交する直線をとする。lとmの交点がX上にあるとき、以下の問いに答えよ。

(1) aの値を求めよ。
(2) 2直線l,mと曲線Cで囲まれた図形のうちで、y軸の右側の部分の面積を求めよ。　[東北大]

特別問題B～数学～

次の方程式で与えられる空間曲線がある。
x＝cosωt、y＝sinωt、z＝vt　tはパラメータ、ωとvは定数である。

(1) この曲線の接線の方程式を求めよ。
(2) その直線に垂直で接点を通る平面の方程式を求めよ。
(3) この平面が元の曲線と上記接点以外では交わらないための条件を求めよ。　[東京大学院]

2483時間目模範解答

Ⅰ　沙を聚めて之に雨降らす・・・すな(を)あつ(めて)これ(に)あめふ(らす)
意味：人物を採用して、事業の基礎を固めること。

Ⅱ　夭夭如たり・・・ようようじょ(たり)
意味：穏やかに笑みをたたえて、誠に美しい桃のようだ。

Ⅲ　歯無しの骨だくみ・・・はな(しの)ほね(だくみ)
意味：できもしない、分不相応なことをやろうとすること。

Ⅳ　薪尽きて火滅ぶ・・・たきぎつ(きて)ひほろ(ぶ)
意味：薪がちきて、火が消える。人の死をいう。

Ⅴ　択言択行無し・・・たくげんたくこうな(し)
意味：道にはずれた悪い言葉や行為がない。

Ⅵ　尺璧非宝・・・せきへきひほう
意味：時間は何よりも貴重であるということ。

Ⅶ　空中の楼閣・・・くうちゅう(の)ろうかく
意味：根拠のないこと。現実性に欠けることのたとえ。

Ⅷ　嫁鶏随鶏・・・かけいずいけい
意味：妻が夫に従うことのたとえ。

Ⅸ　一縷千鈞・・・いちるせんきん
意味：危険のはなはだしいことのたとえ。

Ⅹ　年災月殃・・・ねんさいげつおう
意味：もっとも不幸な日のこと。

特別問題A～数学～

(1) y＝x²よりy'＝2xだから、Pにおける接線の傾きは2・1/2＝1となる。
よって、直線lはy＝－(x－1/2)＋1/4　∴l＝－x＋3/4
同様に、Qにおける接線の傾きは2aだから直線mはy＝1/2a・(x－a)＋a²　∴m：－x/2a＋a²＋1/2
lとmの交点はa≠1/2に注意して求めるとx＝－a(2a＋1)/2、y＝－(4a²＋2a＋3)/4
この点が、曲線C：y＝x²上にあるから(4a²＋2a＋3)/4＝a²(2a＋1)/4
∴(a－1)(4a³＋8a²＋5a＋3)　これを満たすaで正のものはa＝1
(2) a＝1のとき、直線mはy＝－x/2＋3/2
よって、図の橙部の図形の面積を求めればよい。よって
${ S=\int^1_0 (- \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}-x^2)dx-\int^{\frac{1}{2}}_0 (-x+\frac{3}{4}-x^2)}$ ${\Large =[-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{4}+\frac{3}{2}x]^1_0-[-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+\frac{3}{4}x]^{\frac{1}{2}}_0}$ ${\Large =\frac{11}{12}-\frac{5}{24}=\frac{17}{24}}$

特別問題B～数学～

(1) $ 接線の方程式は\frac{x-cosωt}{-ωsinωt}=\frac{y-sinωt}{ωcosωt}=\frac{z-vt}{v}$
(2) 接線に垂直な平面(法平面)の方程式は－ωsinωt(x－cosωt)＋ωcosωt(y－sinωt)＋v(z－vt)＝0
すなわち－ωsinωt・x＋ωcosωt・y＋v(z－vt)
(3) 接点以外の交点に対応する助変数をt₁とすると
－ωsinωt・cosωt₁＋ωcosωt・sinωt₁＋v(vt₁－vt)＝0
すなわちωsinω(t₁－t)＋v²(t₁－t)において、u＝t₁－tとおくと
ωsinωu＋v²u＝0、α＝ωuとおくとsinα/α＝－v²/ω²
f(α)＝sinα/αとおくとf(α)は偶関数なので、α＞0の部分を考えて
$ f'(α)=\frac{αcosα-sinα}{α^2}=\frac{cosα(α-tanα)}{α}=0$
より、f(α)が最小値になる点αは次式を満たす
α₀＝tanα₀　(α∈(x,3π/2))
したがって、f(α_0)＞－v²/ω²　すなわちω²＜－v²/cosα₀のとき、この法平面はもとの曲線の接点以外と交わらない。