2479時間目 ~ADVANCED~
次の漢字の読みを記せ。
レベルⅠ
Ⅰ 飛生虫
Ⅱ 縉笏
Ⅲ 棘門
Ⅳ 豁達豪放
レベルⅡ
Ⅰ 重菰
Ⅱ 天仙花
Ⅲ 典侍
レベルⅢ
Ⅰ 小集楽
Ⅱ 人癩
Ⅲ 丁鐸爾現象
特別問題A~数学~
aが定数のとき、直線l:(1+3a)x+(2+a)y=2-9aはaの値に関わらず定点[ア]を通る。aの値が[イ]のとき、直線lは第1象限を通る。 [同志社大]
特別問題B~数学~
放物線C:y2=4px (p>0)の焦点F(p,0)を通る2直線l1,l2は互いに直交し、Cとl1は2点P1,P2で、Cとl2は点Q1,Q2で交わるとする。次の問いに答えなさい。
(1) l1の方程式をx=ay+pとおき、P1,P2の座標をそれぞれ(x1,y1),(x2,y2)とする。y1+y2、y1y2をaとpで表せ。
(2) 1/P1P2+1/Q1Q2はl1,l2のとり方によらず一定であることを示せ。 [早稲田大]
2479時間目模範解答
レベルⅠ
Ⅰ 飛生虫・・・かぶとむし[虫]
コガネムシ科カブトムシ亜科に属する昆虫。
Ⅱ 縉笏・・・しんこつ
意味:笏をさしはさむ。
Ⅲ 棘門・・・きょくもん
意味:ほこを並べ立てて門としたもの。
Ⅳ 豁達豪放・・・かったつごうほう
意味:度量が広く、細かいことにとらわれないさま。
レベルⅡ
Ⅰ 重菰・・・まいたけ[菌]
サルノコシカケ目サルノコシカケ科のキノコ。
Ⅱ 天仙花・・・いぬびわ[植]
クワ科の落葉または常緑小高木。
Ⅲ 典侍・・・すけ
律令制で内侍司の次の官。
レベルⅢ
Ⅰ 小集楽・・・おずめ
意味:男女が歌舞などで遊んだ集まり。
Ⅱ 人癩・・・ひとがたい
意味:仁義や恥など人の道を知らない者。
Ⅲ 丁鐸爾現象・・・チンダルげんしょう[化]
コロイド溶液などに光を当てた時、光の通路が見える現象。
特別問題A~数学~
(ア) (1+3a)x+(2+a)y=2-9aをaについて整理して a(3x-y+9)+x-2y-2=0
3x-y+9=0、x-2y-2=0とするとx=-4、y=-3
よって直線lは定点(-4,-3)を通る。
(イ) [1]a=-2のとき、直線lの方程式はx=-4となり不適。
[2]a≠2のとき、直線lの方程式はy=(3a+1)/(a+2)・x+(9a-2)/(a+2)
第3象限の定点(-4,-3)を通るから、直線lが第1象限を通るのは傾きが正のときである。
よって(3a+1)/(a+2)>0 ∴a<-2、-1/3<a
[1],[2]より求めるaの値の範囲はa<-2、-1/3<a
特別問題B~数学~
(1) C:y2=4px・・・① l1:x=ay+p・・・②
①、②からxを消去するとy2=4p(ay+p) ∴y2-4apy-4p2=0・・・③
③の実数解がy1、y2より解と係数の関係から y1+y2=4ap・・・④ y1y2=-4p2・・・⑤
(2) P1P22=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(ay2-ay1)2+(y2-y1)2(∵②)=(a2+1){(y1+y2)2-4y1y2}=(a2+1){(4ap)2-4(-4p2)}=16p2(a2+1)・・・⑥
⑥でaを-1/aとしてQ1Q2=4p(1/a2+1)・・・⑦
よって⑥、⑦より
1/P1P2+1/Q1Q2=1/4p(a2+1)+1/4p(1/a2+1)={1/(a2+1)+a2/(a2+1)}=1/4p (一定)
よって題意は示された。 ■