漢字戦場　～ブレイズム漢字講座ブログ～

2475時間目　～BASIC～

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ　雑居房

Ⅱ　会遇

Ⅲ　戴角

Ⅳ　流れに耳を洗う

レベルⅡ

Ⅰ　昏姻

Ⅱ　昌運

Ⅲ　宴酣

レベルⅢ

Ⅰ　尭鼓舜木

Ⅱ　趨翔

Ⅲ　陁陊

特別問題A～数学～

自然数nに対してA(n)をn²＋3n＋2の値の一の位とする。このとき、次の問いに答えよ。

(1) j＋k＝7を満たすjとkについて、A(j)＝A(k)となることを示せ。
(2) j＋k＝97を満たすjとkについて、A(j)＝A(k)となることを示せ。
(3) jを5の倍数とするとき、任意のnについてA(j＋n)＝A(n)となることを示せ。　[島根大]

特別問題B～数学～

次の条件(i),(ii)をともに満たす正の整数Nをすべて求めよ。

(i) Nの正の約数は12個。
(ii) Nの正の約数は小さいほうから順に並べた時、7番目の数は12。
但し、Nの約数には1とNも含める。　[東京工大]

2475時間目模範解答

Ⅰ　雑居房・・・ざっきょぼう
意味：刑務所や拘置所で、複数の収容者を入れておく居室。

Ⅱ　会遇・・・かいぐう
意味：偶然出会うこと。出くわすこと。

Ⅲ　戴角・・・たいかく
意味：角を付けていること。また、その角を付けたもの。

Ⅳ　流れに耳を洗う・・・なが(れに)みみ(を)あら(う)
意味：ひとり身を清くして世俗から逃れるたとえ。

レベルⅡ

Ⅰ　昏姻・・・こんいん
意味：夫婦の縁組をすること。

Ⅱ　昌運・・・しょううん
意味：物事が盛んになる回り合わせ。

Ⅲ　宴酣・・・えんかん
意味：酒盛りがたけなわになる。

レベルⅢ

Ⅰ　尭鼓舜木・・・しょうこしゅんぼく
意味：人の善言をよく聞き入れること。

Ⅱ　趨翔・・・すうしょう
意味：日常の動作。立ち振る舞い。

Ⅲ　陁陊・・・ちた
意味：だらりとくずれおちる。

特別問題A～数学～

(1) f(n)＝n²＋3n＋2＝(n＋1)(n＋2)とおくと、k＝7－jより
f(j)－f(k)＝f(j)－f(7－j)＝j²＋3j＋2－(8－j)(9－j)＝j²＋3j＋2－(j²－17j＋72)＝10(2j＋7)
すなわち、f(j)－f(k)は10で割り切れるからA(j)＝A(k)　■
(2) k＝97－jであるから
f(j)－f(k)＝f(j)－f(97－j)＝j²＋3j＋2－(98－j)(99－j)＝10(20j－970)
よって(1)と同様に考えてA(j)＝A(k)
(3) j＝5m(m：整数)とすると
f(n＋j)－f(n)＝f(n＋5m)－f(n)＝(n＋1＋5m)(n＋2＋5m)－(n＋1)(n＋2)＝10mn＋15m＋25m²＝10m(n＋2m＋1)＋5m(m＋1)
ここで、m(m＋1)は連続する2整数の積であるからm(m＋1)は偶数であり、5m(m＋1)は10で割り切れる。
すなわちf(n＋j)－f(n)は10で割り切れる。
∴A(n＋j)＝A(n)

特別問題B～数学～

12＝2²・3はNの7番目の約数であるから、1,2,3,4,6の5個の整数が12の約数で、これら以外の約数をxとするとx＝5,7,2³,3²,2・5,11・・・①のいずれかでなければならない。
Nの正の約数が12(＝2×6、3×4、2×2×3)であるからNを素因数分解すると①よりNは
(i)x＝5または2・5のとき2^a3^b5^c
(ii)x＝7のときN＝2^a3^b7^c
(iii)x＝2³のときN＝2^a3^b
(ⅳ)x＝11のときN＝2^a3^b11^c
の形でなければならない。
(i)のとき、この場合は5、2・5もNの約数になるので12が7番目の約数にはならない。
(ii)のとき、12＝(a＋1)(b＋1)(c＋1)≧3・2・2＝12　a≧2に注意すると等式はa＝2、b＝1、c＝1のとき成立するのでN＝2²・3¹・7¹＝84
(iii)のとき12＝(a＋1)(b＋1)　∴(a,b)＝(2,3),(3,2),(5,1)
(a,b)＝(2,3)のときN＝2²・3³＝108、(a,b)＝(3,2)のとき2³、3²はNの約数だから不適。(a,b)＝(5,1)のときN＝2⁵・3¹＝96
(ⅳ)のとき12＝(a＋1)(b＋1)(c＋1)≧3・2・2＝12　a≧12に注意すると等号はa＝2,b＝1,c＝1のとき成立するのでN＝2²・3¹・11¹＝132
以上より　N＝84,96,108,132