2470時間目 ~ULTIMATE~
次の漢字の読みを記せ。
レベルⅠ
Ⅰ 剜肉補瘡
Ⅱ 鑱石
Ⅲ 松上寄生
レベルⅡ
Ⅰ 千金藤
Ⅱ 仙薬
Ⅲ 地苺
レベルⅢ
Ⅰ 窅窊
Ⅱ 垣見草
Ⅲ 人銜
FINAL
利如
特別問題A~数学~
複素数Z=(1+i)3(√3-i)2/(√3-3i)2について考える。Z2nが実数となるときの自然数nの最小値を求めよ。 [自治医大]
特別問題B~数学~
xy平面上の2つの曲線y=x2+1、y=|(x+1)(x-a)/2|が共有点を持たないとき、実数aの存在する範囲を求めよ。 [東北大]
2470時間目模範解答
レベルⅠ
Ⅰ 剜肉補瘡・・・わんにくほそう
意味:応急の処置で問題を処理すること。
Ⅱ 鑱石・・・さんせき
意味:病気の治療に用いる石の針。
Ⅲ 松上寄生・・・まつぐみ[植]
ヤドリギ科の常緑小低木。
レベルⅡ
Ⅰ 千金藤・・・はすのはかずら[植]
ツヅラフジ科の常緑藤本。
Ⅱ 仙薬・・・しらも[植]
オゴノリ科の紅藻。
Ⅲ 地苺・・・へびいちご[植]
バラ科の多年草。
レベルⅢ
Ⅰ 窅窊・・・おうあ
意味:曲がったさま。
Ⅱ 垣見草・・・うのはな[植]
ウツギの別名。
Ⅲ 人銜・・・にんじん[植]
セリ科の二年草。
FINAL
利如・・・ききょう[植]
キキョウ科の多年草。
特別問題A~数学~
一般に複素数wの偏角をarg(w)で表すと
arg(Z)=3arg(1+i)+2arg(√3-i)-2arg(√3-3i)=3・π/4+2・11π/6-2・5π/3=13π/12
Z2nが実数となる最小の自然数nの値は2n=12 ∴n=6
特別問題B~数学~
2つの曲線の交点のx座標は方程式x2+1=|(x+1)(x-a)/2|・・・①の解である。①の両辺は0以上だから、①は両辺を2乗した次の方程式と同値である。
(x2+1)={(x+1)(x-a)/2}2・・・②
②は左辺に移行して因数分解した次式と同値である。
{3x2-(a-1)x+2-a}{x2+(a-1)x+a+2}=0 これより
3x2-(a-1)x+2-a=0・・・③、x2+(a-1)x+a+2=0・・・④を考える。
以上から、①が実数解をもたない条件は③も④も実数解をもたないことである。そこで③、④の判別式をD1,D2とすると
D1=(a-1)2-12(2-a)=a2+10a-23<0 ∴-5-4√3<a<-5+4√3・・・⑤
D2=(a-1)2-4(a+2)=a2-6a-7<0 ∴-1<a<7・・・⑥
⑤、⑥の共通のaの範囲より-1<a<-5+4√3