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2451時間目 ～ADVANCED～
次の漢字の読みを記せ。
レベルⅠ
Ⅰ 揉搓
Ⅱ 毀瘁
Ⅲ 絳樹青琴
Ⅳ 撃断して諱む無し
レベルⅡ
Ⅰ 杜蒙
Ⅱ 粟米草
Ⅲ 屹度叱り
レベルⅢ
Ⅰ 鏦殺
Ⅱ 闋じる
Ⅲ 因制
特別問題A～数学～
次の方程式を解け。
(1) (log3x)2－2log3x＝3
(2) log2x＋6logx2＝5
特別問題B～数学～
次の問いに答えよ。
(1) 任意の正の整数nに対して、不等式2n+1＞n(n＋1)＋1が成り立つことを証明せよ。
(2) 各正の整数nに対し、不等式2m≦nm＋1を満たす正の整数mの個数をanとするとき、an≦nが成り立つことを証明せよ。 [北海道大]
2451時間目模範解答
レベルⅠ
Ⅰ 揉搓・・・じゅうさ
意味
①：手でもむ。
②：なぶりものにする。虐待する。
Ⅱ 毀瘁・・・きすい
意味：やせ衰える。
Ⅲ 絳樹青琴・・・こうじゅせいきん
意味：絳樹と青琴。ともに昔の美女の名。
Ⅳ 撃断して諱む無し・・・げきだん(して)い(む)な(し)
意味：みだりに刑罰を科してはばかることを知らない。
レベルⅡ
Ⅰ 杜蒙・・・つくばねそう[植]
ユリ科の多年草。
Ⅱ 粟米草・・・ざくろそう[植]
ザクロソウ科の一年草。
Ⅲ 屹度叱り・・・きっとしか(り)
江戸時代、庶民に科した刑罰の一。
レベルⅢ
Ⅰ 鏦殺・・・しょうさつ
意味：ほこでつき殺す。
Ⅱ 闋じる・・・と(じる)
意味：事が終わって門を閉じる。
Ⅲ 因制・・・インチ
ヤードポンド法の長さの単位。
特別問題A～数学～
(1) 真数は正であるからx＞0・・・①
方程式から(log3x＋1)(log3x－3)＝0 ∴log3x＝－1,3
よってx＝1/3,27 これらのxの値は①を満たす。
ゆえに解はx＝1/3,27
(2) 真数は正で、底は1ではない正の数であるから0＜x＜1・・・①
このとき、方程式の両辺にlog2xを掛けて(log2x)2＋6＝5log2x
整理して(log2x)2－5log2x＋6＝0 (log2x－2)(log2x－3)＝0
よって、log2x＝2,3 x＝4,8
これらのxの値は①を満たす。よって解はx＝4,8
特別問題B～数学～
(1) 2項展開を用いると 2n＝(1＋1)n＞1＋n＋n(n－1)/2
両辺に2を掛けて 2n+1＞2＋2n＋n(n＋1)
∴2n+1＞n2＋n＋2＞n(n＋1)＋1 よって2n+1＞n(n＋1)＋1 ■
(2) (1)の不等式は明らかにn＝0でも成り立つ。すなわち2n+1＞n(n＋1)＋1(n＝0,1,2,…)
したがって、2m＞(m－1)m＋1
一方条件より各正の整数nに対して2m≦nm＋1が成り立つのでnm＋1＞(m－1)m＋1が成り立つ。
すなわちnm＞(m－1)m ∴m＜n＋1
よってm≦n これよりan≦nが得られる。 ■