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2438時間目 ～BASIC～
次の漢字の読みを記せ。
レベルⅠ
Ⅰ 敗筆
Ⅱ 手を以て額に加う
Ⅲ 病力
Ⅳ 馬氏五常
レベルⅡ
Ⅰ 朝膳
Ⅱ 淫麗
Ⅲ 長鯨の百川を吸う
レベルⅢ
Ⅰ 橛橛
Ⅱ 威霆
Ⅲ 皦如
特別問題A～数学～
0≦x＜2πのとき、xの関数y＝2sinx＋cos2xの最大値と最小値を求めよ。また、そのときのxの値を求めよ。 [福島大]
特別問題B～数学～
自然数の2乗となる数を平方数という。
(1) 自然数a,n,kに対して、n(n＋1)＋a＝(n＋k)2が成り立つとき、a≧k2＋2k－1が成り立つことを示せ。
(2) n(n＋1)＋14が平方数となるような自然数nをすべて求めよ。 [北海道大]
2438時間目模範解答
レベルⅠ
Ⅰ 敗筆・・・はいひつ
意味：使い古しの筆。
Ⅱ 手を以て額に加う・・・て(を)もっ(て)ひたい(に)くわ(う)
意味：喜び望むさま。
Ⅲ 病力・・・びょうりょく
意味：病気の重いこと。
Ⅳ 馬氏五常・・・ばしごじょう
意味：兄弟がそろって優秀なことを褒めること。
レベルⅡ
Ⅰ 朝膳・・・ちょうぜん
意味：朝の食事。また、朝食のの献立。
Ⅱ 淫麗・・・いんれい
意味：度を越えて美しく飾り立てること。
Ⅲ 長鯨の百川を吸う・・・ちょうげい(の)ひゃくせん(を)す(う)
意味：大酒を飲むことのたとえ。
レベルⅢ
Ⅰ 橛橛・・・けつけつ
意味：立ってゆるがないさま。物に動じないさま。
Ⅱ 威霆・・・いてい
意味：激しい雷。転じて、非常な威力、恐ろしい剣幕。
Ⅲ 皦如・・・きょうじょ
意味：明らかな様子。
特別問題A～数学～
2倍角の公式よりy＝2sinx＋(1－2sin2x)＝－2sin2x＋2sinx＋1
ここでsinx＝tとおくと、0≦x＜2πより－1≦t≦1であり、y＝－2t2＋2t＋1＝－2(t－1/2)2＋3/2
よってyはt＝1/2で最大値3/2、t＝－1のとき最大値－3をとる。
0≦x＜2πの範囲でt＝1/2のときx＝π/6,5π/6、t＝－1のときx＝3π/2
したがって、x＝π/6,5π/6のとき最大値3/2、x＝3π/2のとき最大値－3
特別問題B～数学～
(1) n(n＋1)＋a＝(n＋k)2・・・①よりa＝(2k－1)n＋k2
右辺はnの1次式で2k－1≧2・1－1＝1＞0だからkを任意に固定するごとにn＝1で最小値(2k－1)・1＋k2＝k2＋2k－1をとる。
∴a≧k2＋2k－1 ■
(2) n(n＋1)＋14＞n2であるから左辺が平方数となるとするとそれは①の右辺の形である。
このとき(1)より14≧k2＋2k－1⇔(k＋5)(k－3)≦0
kは自然数だからk＝1,2,3 ①でa＝14として
k＝1のときn(n＋1)＋14＝(n＋1)2 ∴n＝13
k＝2のときn(n＋1)＋14＝(n＋2)2 3n＝10を満たす自然数はない。
k＝3のときn(n＋1)＋14＝(n＋3)2 5n＝5よりn＝1
以上から求めるnの値は1,13