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2356時間目 ～漢検一級～
次の問いに答えよ。
漢検一級配当読み
次の漢字の読みを記せ。
Ⅰ 燼萌
Ⅱ 熾富
Ⅲ 餒歉
Ⅳ 飭化
四字熟語・諺
次の四字熟語・諺の読みと意味を記せ。
Ⅰ 美婦は不祥の器
Ⅱ 瓜葛の親
Ⅲ 人心洶洶
当て字・熟字訓
次の当て字・熟字訓の読みを記せ。
Ⅰ 摂腰
Ⅱ 五倍子
Ⅲ 田桂
特別問題A～数学～
100人の集まりがあり、この中から5名の代表者を選ぶ。100人が1名ずつ名前を書いて投票するとき、当選が確実となる最低票数は何票か。 [東洋大]
特別問題B～数学～
△ABCは鋭角三角形であり、∠A＝π/3であるとする。また、△ABCの外接円の半径は1であるとする。
(1) △ABCの内心をPとするとき、∠BPCを求めよ。
(2) △ABCの内接円の半径rを取りうる値の範囲を求めよ。 [京都大]
2356時間目模範解答
漢検一級配当読み
Ⅰ 燼萌・・・じんほう
意味：火の燃え残りと草の芽。災いの兆しに例える。
Ⅱ 熾富・・・しふ
意味：豊かで栄える。
Ⅲ 餒歉・・・だいけん
意味：飢え乏しくなる。
Ⅳ 飭化・・・ちょくか
意味：手をかけて立派なものにする。
四字熟語・諺
Ⅰ 美婦は不祥の器・・・びふ(は)ふしょう(の)き
意味：美しい女は縁起が良くない。
Ⅱ 瓜葛の親・・・かかつ(の)しん
意味：親類の縁が広がりつながること。
Ⅲ 人心洶洶・・・じんしんきょうきょう
意味：世間の人々の心が騒ぎ動揺すること。
当て字・熟字訓
Ⅰ 摂腰・・・せひえ
意味：幅広く仕立てた腰帯。
Ⅱ 五倍子・・・ふし
ヌルデの若芽などに寄生虫がついてできるこぶ状の物。
Ⅲ 田桂・・・しこくびえ[植]
イネ科の一年草。
特別問題A～数学～
特定の6人に均等に票がわかれたとすると票数は(17,17,17,17,16,16)となる。
もし15票以下となるとその人を上回る票を得た人が5人いることがあり当選できない場合が起こりうる。
一方、17票以上を保持していれば、ほかの票がどう動いても、その人を上回る票を得た人は多くても4人である。
よって、求める最低票数は17票。
特別問題B～数学～
(1) 三角形の内心は、内角の二等分線の交点だから
∠BPC＝π－(∠PBC＋∠PCB)＝π－1/2(∠ABC＋∠ACB)＝π－1/2(π－∠BAC)＝π/2＋1/2∠BC
よって∠BPC＝π/2＋1/2・π/3＝2π/3
(2) △ABCの外接円の半径が1より正弦定理からBC/sinA＝2
したがって、BC＝2sinA＝√3
内心Pから辺BCに下ろした垂線をPHとするとPH＝r、∠BPH＝θとすると、∠COH＝2π/3－θ
BH＝PHtan∠BPH＝rtanθ、CH＝PHtan∠CPH＝rtan(2π/3－θ)
BH＋CH＝BCからr{tanθ＋tan(2π/3－θ)}＝√3・・・①
ここで∠ABC＝2∠PBH＝2(π/2－θ)＝π－2θ
∠ACB＝2∠PCH＝2(π/2－∠CPH)＝π－2(2π/3－θ)＝2θ－π/3
△ABCは鋭角三角形だからπ－2θ＜π/2かつ2θ－π/3＜π/2
すなわちπ/4＜θ＜5π/12・・・②
tanθ＋tan(2π/3－θ)＝tanθ＋(tan(2π/3)－tanθ)/(1＋tan(2π/3)＋tanθ)＝tanθ－(√3＋tanθ)/(1－√3tanθ)＝(√3tan2θ＋√3)/(√3tanθ－1)＝√3/(√3sinθcosθ－cos2θ)＝√3/{(√3/2)sin2θ＋(1＋cos2θ)/2}＝√3/{sin(2θ－π/6)－1/2}
②のときπ/3＜2θ－π/6＜2π/3だから(√3－1)/2＜sin(2θ－π/6)－1/2≦1/2
①からtanθ＋tan(2π/3－θ)＝√3/rだからr＝sin(2θ－π/6)－1/2であり、rの取りうる値の範囲は(√3－1)/2＜r≦1/2