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2327時間目 ～通常更新～
次の漢字の読みを記せ。
レベルⅠ
Ⅰ 木香
Ⅱ 概要
Ⅲ 濡需
Ⅳ 十人寄れば十国の者
レベルⅡ
Ⅰ 水凌
Ⅱ 箕賦
Ⅲ 醜婦の仇
レベルⅢ
Ⅰ 篁逕
Ⅱ 絳英
Ⅲ 踆踆
特別問題A～数学～
三角形ABCがあり、各辺の長さがAB＝5、BC＝7、CA＝4である。次の各問いに答えなさい。
(1) cosAを求めなさい。ここでAは∠BACの大きさとする。
(2) 三角形ABCの外接円の半径を求めなさい。
(3) 三角形ABCの面積を求めなさい。
(4) 辺BC上に点Pを、∠CAP＝π/3となるようにとる。∠BAP＝θとおくときsinθの値を求めなさい。
(5) 線分APの長さを求めなさい。 [福島大]
特別問題B～数学～
a,bを定数とし、f(x)＝x3－3ax2＋3b2x＋b(a－6)＋2a2(3－a)とおく。
(1) f(x)＝0が3重解を持つための条件を求めよ。
(2) f(x)＝0の異なる解の個数を求め、それぞれの個数を取る点(a,b)の存在範囲を座標平面上に図示せよ。 [滋賀医大]
2327時間目模範解答
レベルⅠ
Ⅰ 木香・・・もっこう[植]
キク科の多年草。
Ⅱ 概要・・・がいよう
意味：全体の要点を取りまとめたもの。
Ⅲ 濡需・・・じゅじゅ
意味：しばらくの間、安逸をむさぼる。
Ⅳ 十人寄れば十国の者・・・じゅうにんよ(れば)とこく(の)もの
意味：大勢の人がいれば生まれはいろいろだということ。
レベルⅡ
Ⅰ 水凌・・・すいりょう
意味
①：つらら。たるひ。
②：厳重で激しいこと。
Ⅱ 箕賦・・・きふ
意味：箕ですくいとるように、民の財を厳しく取り立てる。
Ⅲ 醜婦の仇・・・しゅうふ(の)あだ
意味：賢臣は奸臣の目のかたきであることをいう。
レベルⅢ
Ⅰ 篁逕・・・こうけい
意味：竹やぶの中の小道。
Ⅱ 絳英・・・こうえい
意味：真紅の花。赤い花ぶき。
Ⅲ 踆踆・・・しゅんしゅん
意味：行き走るさま。おどり行くさま。
特別問題A～数学～
(1) 余弦定理よりcosAー(52＋42－72)/(2・5・4)＝－1/5
(2) (1)よりsinA＝√(1－(－1/5)2)＝2√6/5 △ABCの外接円の半径をRとすると7/sinA＝2RよりR＝7/2・5/2√6＝35√6/24
(3) △ABC＝1/2・5・4sinA＝10・2√6/5＝4√6
(4) A＝θ＋π/3であるからsinθ＝sin(A－π/3)＝sinAcos(π/3)－cosAsin(π/3)＝2√6/5・1/2－(－1/5)・√3/2＝(2√6＋√3)/10
(5) △APB＋△ACP＝△ABCより1/2・5・APsinθ＋1/2・4・APsin(π/3)＝4√6
(5/2・(2√6＋√3)/10＋2・√3/2)AP＝4√6 (2√6＋5√3)AP＝16√6
(5＋2√2)AP＝16√2 よってAP＝16√2/(5＋2√2)＝(80√2－64)/17
特別問題B～数学～
(1) f(x)＝x3－3ax2＋3b2x＋b(a－6)＋2a2(3－a) f(x)＝0がx＝αを3重解としてもつとき、f(x)＝(x－α)3とかける。
したがって、f(x)＝0が3重解を持つための条件はf(x)＝f'(x)＝f''(x)＝0を満たす実数xが存在することである。
ここでf'(x)＝3x2－6ax＋3b2＝3{(x－a)2－a2＋b2}、f''(x)＝6(x－a)であるからf'(a)＝3(－a2＋b2)＝0
f(a)＝2(2a－3)(－a2＋b2)＝0 よって求める条件は－a2＋b2＝0 ∴b＝±a
(2) (i)－a2＋b2≧0のとき、f'(x)≧0であるから、f(x)は単調増加である。したがって、f(x)＝0の解の個数は1である。
(ii)－a2＋b2＜0のとき、f'(x)＝0よりx＝a±√(a2－b2)
そこでα＝a－√(a2－b2)、β＝a＋√(a2－b2)とおくとf(x)＝1/3・f'(x)(x－a)－2(a2－b2)(x＋a－3)であるから
f(α)・f(β)＝4(a2－b2)2(α＋a－3)(β＋a－3)＝4{(a2－b2)2{(2a－3)－√(a2－b2)}×{(2a－3)＋√(a2－b2)}}＝4(a2－b2)2(3a2＋b2－12a＋9)
したがってf(α)f(β)＜0⇔3a2＋b2－12a＋9＜0 (a－2)2＋b2/3＜1となり、このとき解の個数は3である。
また、(a－2)2＋b2/3＝－1のときにf(α)f(β)＝0だから解の個数は2であり、さらに(a－2)2＋b2/3＞1のとき、解の個数は1となる。
以上、(i),(ii)より異なる解の個数が1,2,3の場合の点(a,b)の存在範囲を順に図示すると図1、図2、図3のようになる。但し境界は白丸は含まない。