2236時間目 ~通常更新~
次の漢字の読みを記せ。
レベルⅠ
Ⅰ 暮夜
Ⅱ 垂死
Ⅲ 強頑
Ⅳ 長崎から強飯
レベルⅡ
Ⅰ 暇あれば瘡掻く
Ⅱ 健毫
Ⅲ 尸居
レベルⅢ
Ⅰ 菽水の歓
Ⅱ 惙惙
Ⅲ 悲泗淋漓
特別問題A~数学~
xyz空間内に3点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)がある。
(1) △ABCの面積を求めよ。
(2) 空間内にある平面H上のすべての点Pに対して、四面体PABCの体積が常に1である。このとき、平面Hの方程式を求めよ。 [滋賀大]
特別問題B~数学~
正方形ABCDの内部の点Pに対して∠CPDが直角であるときBP/APの最大値を求めよ。 [愛媛大]
2236時間目模範解答
レベルⅠ
Ⅰ 暮夜・・・ぼや
意味:夜になったとき。また、夜。夜分。
Ⅱ 垂死・・・すいし
意味:今でも死にそうであること。瀕死。
Ⅲ 強頑・・・きょうがん
意味:強くて非常にかたくななこと。
Ⅳ 長崎から強飯・・・ながさき(から)こわめし
意味:物事がだらだらと、いつまでも続くさま。
レベルⅡ
Ⅰ 暇あれば瘡掻く・・・ひま(あれば)かさか(く)
意味:思慮の足りない人間は、暇なことがあるとまともなことをしないというたとえ。
Ⅱ 健毫・・・けんごう
意味:文字や文章を達者に書くこと。
Ⅲ 尸居・・・しきょ
意味:何もしないでいること。
レベルⅢ
Ⅰ 菽水の歓・・・しゅくすい(の)かん
意味:貧しい暮らしをしながらも、なお親に孝行を尽くして喜ばせること。
Ⅱ 惙惙・・・てつてつ
意味:憂えるさま。憂えて心の定まらないさま。
Ⅲ 悲泗淋漓・・・ひしりんり
意味:悲しみの涙がとめどなく滴り落ちるさま。
特別問題A~数学~
(1) △ABCは正三角形で、1辺は√2
よって1/2・√2・√2・sin60°=√3/2
(2) 3点A,B,Cを通る平面の方程式は、法線ベクトルが(1,1,1)でAを通ることから、x+y+z=1となる。
題意より平面Hはこの平面と平行なのでx+y+z=kの形をしている。
2平面の距離=|1-k|/(1^2+1^2+1^2)=|1-k|/√3
四面体の体積=1/3×三角形の面積×高さより1=1/3×√3/2×|1-k|/√3
∴|1-k|=6 k=7,-5
よって平面Hの方程式はx+y+z-7=0またはx+y+z+5=0
特別問題B~数学~
xy平面上に正方形の4頂点A(a,2a),B(-2a,a),C(-a,0),D(a,0)(a>0)をとる。正方形ABCDの内部の点Bに対して∠CPDが直角であるとき、Pは半円x2+y2=a2 (y>0)上にあるから、P(acosθ,asinθ)とおける。ただし、BP/APを考えるから0<θ≦π/2としてよい。
AP2=(acosθ-a)2+(asinθ-2a)2=2a(-cosθ-2sinθ+3)となり、AP2≠0であるから、BP2/AP2=(cosθ-2sinθ+3)/(-cosθ-2sinθ+3)。これをf(θ)とする。
f'(θ)=(4-6sinθ)/(-cosθ-2sinθ+3)2となる。f'(θ)=0とするとsinθ=2/3
これを満たすθは0<θ<π/2にただ一つ存在するからそれをαとすると0<θ≦π/2における増減表は図。
これよりf(θ)はθ=αのとき最大となるからsinα=2/3、cosα=√(1-sin2α)=√5/3であるから最大値は
f(α)=(cosα-2sinα+3)/(-cosα-2sinα+3)=(5+√5)/(5-√5)=(5+√5)/20
よって求めるBP/APの値は√{(5+√5)2/20}=(5+√5)/2√5=(√5+1)/2