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2228時間目 ～漢検一級～
次の問いに答えよ。
漢検一級配当読み
次の漢字の読みを記せ。
Ⅰ 漱刷
Ⅱ 尽觴
Ⅲ 眄眄
Ⅳ 誣繋
四字熟語・諺
次の四字熟語・諺の読みと意味を記せ。
Ⅰ 盥半切りを笑う
Ⅱ 烏鳶の卵毀らずして鳳凰集まる
Ⅲ 誨人不倦
当て字・熟字訓
次の当て字・熟字訓の読みを記せ。
Ⅰ 巻柏
Ⅱ 莫大小
Ⅲ 係蹄
特別問題A～数学～
a＝(1,3,－2)となす角が60°、b＝(1,－1,－1)と垂直で、大きさが√14であるベクトルpを求めよ。 [二級配当]
特別問題B～数学～
2つの円C：(x－1)2＋y2＝1とD：(x＋2)2＋y2＝72を考える。また原点をO(0,0)とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 円C上に、y座標が正であるような点Pをとり、x軸の正の部分と線分OPのなす角をθとする。このとき、点Pの座標と線分OPの長さをθを用いて表せ。
(2) (1)でとった点Pを固定したまま、円Qが円D上を動くとき、△OPQの面積が最大となるときのQの座標をθを用いて表せ。
(3) 点Pが円C上を動き、点Qが円D上を動くとき、△OPQの面積の最大値を求めよ。
ただし(2),(3)においては、3点O,P,Qが同一直線上にあるときは、△OPQの面積は0であるとする。 [名古屋大]
2228時間目模範解答
漢検一級配当読み
Ⅰ 漱刷・・・そうさつ
意味：洗いすすぐこと。
Ⅱ 尽觴・・・じんしょう
意味：杯の酒を飲み干す。
Ⅲ 眄眄・・・べんべん
意味：横に見るさま。また、目に輝きのないさま。
Ⅳ 誣繋・・・ふけい
意味：罪のない者をあるようにいつわって捕えること。
四字熟語・諺
Ⅰ 盥半切りを笑う・・・たらいはんぎ(りを)わら(う)
意味：自分と大差のない者を馬鹿にするたとえ。
Ⅱ 烏鳶の卵毀らずして鳳凰集まる・・・うえん(の)たまごやぶ(らずして)ほうおうあつ(まる)
意味：寛大な仁政の下にはそれをしたって賢く優秀な人が集まってくるというたとえ。
Ⅲ 誨人不倦・・・かいじんふけん
意味：他人を教え導いて怠らないこと。
当て字・熟字訓
Ⅰ 巻柏・・・いわひば[植]
イワヒバ科の常緑性シダ。
Ⅱ 莫大小・・・メリヤス
編み物用機械によって編んだ布地。
Ⅲ 係蹄・・・わな
縄や竹などで作った鳥や獣を生け捕りにする仕掛け。
特別問題A～数学～
求めるベクトルをp＝(x,y,z)とおく。
|a|＝√{12＋32＋(－2)2}＝√14 aとpのなす角は60°であるからa・p＝|a||p|cos60°⇔x＋3y－2z＝√14√14cos60°
よってx＋3y－2z＝7・・・① b⊥pであるからb・p＝0 x－y－z＝0・・・②
また、|p|＝√14よりx2＋y2＋z2＝14・・・③
①－②×2より－x＋5y＝7、x＝5y＋7・・・④
④を②に代入して(5y－7)－y－z＝0 z＝4y－7・・・⑤
③に④、⑤を代入して
(5y－7)＋y2＋(4y－7)2＝14⇔42y2－126y＋84＝0⇔y2－3y＋2＝0 ∴y＝1,2
y＝1のときx＝－2、z＝－3 y＝2のときx＝3、z＝1
したがって、p＝(－2,1,－3),(3,2,1)
特別問題B～数学～
(1) OP＝rとすると、P(rcosθ,rsinθ)と表せて、Pは円C上にあるから(rcosθ－1)2＋(rsinθ)2＝1 r2－2rcosθ＝0
r＞0よりr＝OP＝2cosθ ゆえにP(1＋cos2θ,sin2θ)
(2) Q(－2＋7cost,7sint)とおけて、△OPQの面積をSとすると
S＝1/2・|7sint(1＋cos2θ)－sin2θ(－2＋7cost)|＝1/2・|7(1＋cos2θ)sint－7sin2θcost＋2sin2θ|
ここで(1＋cos2θ)2＋sin22θ＝2(1＋cos2θ)＝4cos2θで0＜θ＜π/2であるから
S＝1/2・|14cosθsin(t＋α)＋2sin2θ|≦7cosθ＋sin2θ
等号はsin(t＋α)＝1のとき成り立ち、cosα＝cosθ・sinα＝－sinαであるからt＋α＝5π/2より
cost＝cos(5π/2－α)＝sinα＝－sinθ、sint＝sin(5π/2－α)＝cosα＝cosθ
したがって、Q(－2－7sinθ,7cosθ)
(3) f(θ)＝7cosθ＋sin2θとおくと、f'(θ)＝－7sinθ＋2cos2θ＝－7sinθ＋2(1－2sin2θ)＝－(4sinθ－1)(sinθ＋2)
sinθ＝1/4を満たすθをαとすると、f(θ)の増減は図
よって、f(θ)はθ＝αで最大で最大値は7cosα＋sin2α＝7・√15/4＋2・1/4・√15/4＝15√15/8