漢字戦場　～ブレイズム漢字講座ブログ～

2224時間目　～漢検一級～

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ　懈惰

Ⅱ　蹈歌

Ⅲ　潸然

Ⅳ　棍然

Ⅴ　睹聞

Ⅵ　愆失

Ⅶ　俟嗣

Ⅷ　糅雑

Ⅸ　寛肆

Ⅹ　磊隗

Ⅺ　偸薄－偸い

Ⅻ　慍見－慍る

特別問題A～数学～

3sinx＋cosx＝cが0≦x≦π/2で異なる2つの解を持つようなcの範囲を求めよ。　[関西大]

特別問題B～数学～

以下の問いに答えよ。

(1) 6以上の整数nに対して不等式2ⁿ＞n²＋7が成り立つことを数学的帰納法により示せ。
(2) 等式p^q＝q^p＋7を満たす素数の組(p,q)をすべて求めよ。　[東北大]

2224時間目模範解答

Ⅰ　懈惰・・・かいだ
意味：なまけること。怠りおろそかにすること。

Ⅱ　蹈歌・・・とうか
意味：多数の人が足で地を踏み鳴らして歌う舞踏。

Ⅲ　潸然・・・さんぜん
意味：涙を流して泣くさま。さめざめと涙を流すさま。

Ⅳ　棍然・・・こんせい
意味：混じり合ってできている。混然としている。

Ⅴ　睹聞・・・とぶん
意味：見ることと聞くこと。みきき。

Ⅵ　愆失・・・けんしつ
意味：あやまり。しくじり。

Ⅶ　俟嗣・・・しし
意味：位を継ぐことを待つ。

Ⅷ　糅雑・・・じゅうざつ
意味：事柄が雑然といりまじるさま。

Ⅸ　寛肆・・・かんし
意味：広い。広々としている。

Ⅹ　磊隗・・・らいかい
意味：不平不満で心がふさがっていることを言う。

Ⅺ　偸薄－偸い・・・とうはく－うす(い)
意味：人情が薄いこと。

Ⅻ　慍見－慍る・・・うんけん、おんけん－いか(る)
意味：いかって人に面会すること。

特別問題A～数学～

3sinx＋cosx＝cを変形すると、√10(3/√10・sinx＋1/√10・cosx)＝c
ここで、αをcosα＝3/√10、sinα＝1/√10、0＜α＜π/2を満たす角とすると
√10sin(x＋α)＝c、sin(x＋α)＝c/√10・・・①
0≦x≦π/2よりα≦x＋α≦π/2＋α　よって①が異なる2つの解を持つ条件は3/√10≦c/√10＜1
したがって3≦c＜√10

特別問題B～数学～

(1) [Ⅰ]n＝6のとき、左辺＝2⁶＝64、右辺＝43で成り立つ。
[Ⅱ]n＝k(k≧6)・・・①のとき成り立つとすると2^k＞k^2＋7・・・②
n＝k＋1のときは2^k+1＝2^k・2＞2(k²＋7)(∵②)
ここで①のとき2(k＋7)－{(k＋1)²＋7}＝(k－1)^2＋5＞0　∴2(k²＋7)＞(k＋1)²＋7・・・④
③、④より2^k+1＞(k＋1)²＋7　よって、n＝k＋1のときも成り立つ。
以上から[Ⅰ],[Ⅱ]より、6以上の整数nについて2ⁿ＞n²＋7が成り立つ。■
(2) p^q＝q^p＋7・・・⑤を満たす素数p,qが存在するとき、p,qがともに奇数または2とすると、左辺と右辺の一方が奇数で、一方が偶数となり矛盾する。したがって、次の2つの場合を考えればよい。
(i)p＝2、qが奇数のとき2^q＝q²＋7・・・⑥
(1)の結果よりq≧6のとき⑥が成り立つことはない。したがってq＝3または5の場合を考えるとq＝5
(ii)q＝2、pが奇数のときp²＝2^p＋7　∴2^p＝p²－7・・・⑦
(1)の結果よりp≧6のとき2^p＞p²＋7＞p²－7
したがって、p＝3または5の場合を考えるが、⑦を満たすことはない。
以上から(i)と(ii)より⑤を満たす素数の組(p,q)は(p,q)＝(2,5)