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2137時間目 ～漢検一級～
次の問いに答えよ。
漢検一級配当読み
次の漢字の読みを記せ。
Ⅰ 白皚皚
Ⅱ 弁覈
Ⅲ 危隘
Ⅳ 帽簷
当て字・熟字訓
次の当て字・熟字訓の読みを記せ。
Ⅰ 元宝草
Ⅱ 苦竹
Ⅲ 白露鶏
語義選択
次の意味に適する熟語を下の「 」から選び、漢字で記せ。
Ⅰ 東から太陽がのぼり出ること。
Ⅱ 困窮しているもののたとえ。
Ⅲ 自分で自分の首をはねて死ぬこと。
「いし・じふん・てつぎょ・とうゆう」
特別問題A～数学～
0＜x＜1のとき、不等式log(1/(1－x2))＜(log(1/(1－x)))2を証明せよ。 [準一級配当]
特別問題B～数学～
次の関数の極値を求めよ。：f(x,y)＝xy(a－x－y) [早稲田大学院]
2137時間目模範解答
漢検一級配当読み
Ⅰ 白皚皚・・・はくがいがい
意味：雪などが積もって一面に真っ白い様子。
意味：雪などが積もって一面に真っ白い様子。
Ⅱ 弁覈・・・べんかく
意味：是非・同異などを区別し明らかにする。
意味：是非・同異などを区別し明らかにする。
Ⅲ 危隘・・・きあい
意味：山が高く道が狭いこと。
意味：山が高く道が狭いこと。
Ⅳ 帽簷・・・ぼうえん
意味：帽子のふち。帽子のひさし。
意味：帽子のふち。帽子のひさし。
当て字・熟字訓
Ⅰ 元宝草・・・ほとけのざ[植]
シソ科の越年草。
シソ科の越年草。
Ⅱ 苦竹・・・まだけ[植]
イネ科の竹。高さ約20m
イネ科の竹。高さ約20m
Ⅲ 白露鶏・・・しちめんちょう[鳥]
キジ目シチメンチョウ科の鳥。
キジ目シチメンチョウ科の鳥。
語義選択
Ⅰ 東涌
Ⅱ 轍魚
Ⅲ 自刎
特別問題A～数学～
f(x＝(log(1/(1－x)))2－log(1/(1－x2))とおくと、f(x)は0＜x＜1の範囲で連続であり、f(0)＝0
f'(x)＝2((log(1/(1－x)))・1/(1－x)－2x/(1－x2)＝2/(1－x)・(log(1/(1－x)－x/(x＋1))・・・①
ここで、g(x)＝1/(1－x)－x/(1＋x)とおくと、g(x)もまた0＜x＜1の範囲で連続であり、g(0)＝0、g'(x)＝1/(1－x)－1/(1－x2)
0＜x＜1のとき1/(1－x)＞1、1/(1＋x2)＜1であるからg'(x)＞0となりg(x)＞g(0)＝0
よって、①よりf'(x)＞0 ゆえに0＜x＜1の範囲でf(x)＞f(0)＝0
したがって0＜x＜1のときlog(1/(1－x2))＜(log(1/(1－x)))2 ■
f'(x)＝2((log(1/(1－x)))・1/(1－x)－2x/(1－x2)＝2/(1－x)・(log(1/(1－x)－x/(x＋1))・・・①
ここで、g(x)＝1/(1－x)－x/(1＋x)とおくと、g(x)もまた0＜x＜1の範囲で連続であり、g(0)＝0、g'(x)＝1/(1－x)－1/(1－x2)
0＜x＜1のとき1/(1－x)＞1、1/(1＋x2)＜1であるからg'(x)＞0となりg(x)＞g(0)＝0
よって、①よりf'(x)＞0 ゆえに0＜x＜1の範囲でf(x)＞f(0)＝0
したがって0＜x＜1のときlog(1/(1－x2))＜(log(1/(1－x)))2 ■
特別問題B～数学～
fx＝y(a－x－y)＋xy(－1)＝y(a－2x－y)＝0
fy＝x(a－x－y)＋xy(－1)＝x(a－x－2y)＝0より
(x,y)＝(0,0),(0,a),(a,0),(a/3,a/3)が得られる。
(i)a≠0のとき、この4点におけるΔ≡(fxy)2－fxxfyy＝a2,a2,a2,－a2/3
ゆえに、はじめの3点ではfは極値をとらない。
(a/3,a/3)において、a＞0ならば、fxx＝－2a/3＜0 fは極大値a3/27をとる
a＜0ならば、fxx＞0で極小値a3/27をとる。
(ii)a＝0のときは(0,0)においてΔ＝0となり、これだけではfが極値をとるかどうかは判定できない。
このとき、3直線x＝0,y＝0,x＋y＝0で分けられる6個の領域の各で一定の符号を持つ。
原点の任意の近傍はfの正領域とも負領域とも交わるのでfは原点において極値をとらない。
ゆえにa＝0のときはfは極値を持たない。 ■
fy＝x(a－x－y)＋xy(－1)＝x(a－x－2y)＝0より
(x,y)＝(0,0),(0,a),(a,0),(a/3,a/3)が得られる。
(i)a≠0のとき、この4点におけるΔ≡(fxy)2－fxxfyy＝a2,a2,a2,－a2/3
ゆえに、はじめの3点ではfは極値をとらない。
(a/3,a/3)において、a＞0ならば、fxx＝－2a/3＜0 fは極大値a3/27をとる
a＜0ならば、fxx＞0で極小値a3/27をとる。
(ii)a＝0のときは(0,0)においてΔ＝0となり、これだけではfが極値をとるかどうかは判定できない。
このとき、3直線x＝0,y＝0,x＋y＝0で分けられる6個の領域の各で一定の符号を持つ。
原点の任意の近傍はfの正領域とも負領域とも交わるのでfは原点において極値をとらない。
ゆえにa＝0のときはfは極値を持たない。 ■