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2114時間目 ～通常更新～
次の漢字の読みを記せ。
レベルⅠ
Ⅰ 虎子地に落ちて牛を食らうの気あり
Ⅱ 歴登
Ⅲ 卑困
Ⅳ 青松落色
レベルⅡ
Ⅰ 十世宥
Ⅱ 嬰絹
Ⅲ 梁岳
レベルⅢ
Ⅰ 梁家の黛
Ⅱ 銓擬
Ⅲ 閼顫
特別問題A～数学～
三角形の3辺の長さa,b,cの比がa：b：c＝7：6：5であり、面積が12√6のとき、aの値を求めよ。 [鹿児島大]
特別問題B～数学～
f(θ)＝(1＋cosθ)(cosθ＋√3sinθ＋4)とおく。極方程式r＝f(θ)(0≦θ≦2π)で表される曲線をCとする。
(1) 原点を中心としてx軸をθだけ回転した直線がCによって切り取られてできる線分をLとする。Lの長さｌをθを用いて表せ。
(2) 長さl(0≦θ≦π)の最大値と最小値を求めよ。また、その時のθの値を求めよ。
(3) Lの中点Mが描く曲線の極方程式r＝g(θ)(0≦θ≦2π)とする。g(θ)を求めよ。
(4) Mが描く曲線の方程式を直交座標(x,y)を用いて表せ。
(5) θが7π/6≦θ≦2πの範囲を動くとき、Mが描く曲線を図示せよ。 [山形大]
(2) 長さl(0≦θ≦π)の最大値と最小値を求めよ。また、その時のθの値を求めよ。
(3) Lの中点Mが描く曲線の極方程式r＝g(θ)(0≦θ≦2π)とする。g(θ)を求めよ。
(4) Mが描く曲線の方程式を直交座標(x,y)を用いて表せ。
(5) θが7π/6≦θ≦2πの範囲を動くとき、Mが描く曲線を図示せよ。 [山形大]
2114時間目模範解答
レベルⅠ
Ⅰ 虎子地に落ちて牛を食らうの気あり・・・こしち(に)お(ちて)うし(を)く(らうの)き(あり)
意味：虎の子は、生まれてすぐにでも牛を食らうほどの激しい気性を持っている。
意味：虎の子は、生まれてすぐにでも牛を食らうほどの激しい気性を持っている。
Ⅱ 歴登・・・れきとう
意味：次々と高位に登る。
意味：次々と高位に登る。
Ⅲ 卑困・・・ひこん
意味：身分が低く生活に困窮する。
意味：身分が低く生活に困窮する。
Ⅳ 青松落色・・・せいしょうらくしょう
意味：友人との付き合いが途絶えることのたとえ。
意味：友人との付き合いが途絶えることのたとえ。
レベルⅡ
Ⅰ 十世宥・・・じっせいゆう
意味：十代の後の子孫まで罪があっても許されるほど国家に功績のあった人。
意味：十代の後の子孫まで罪があっても許されるほど国家に功績のあった人。
Ⅱ 嬰絹・・・えいけん
意味：首をくくって死ぬ。縊死する。
意味：首をくくって死ぬ。縊死する。
Ⅲ 梁岳・・・りょうがく
意味：梁と泰山。重要な人物のたとえ。
意味：梁と泰山。重要な人物のたとえ。
レベルⅢ
Ⅰ 梁家の黛・・・りょうか(の)たい
意味：女の美しい眉をいう。
意味：女の美しい眉をいう。
Ⅱ 銓擬・・・せんぎ
意味：疑問のことを考えはかる。
意味：疑問のことを考えはかる。
Ⅲ 閼顫・・・あっせん
意味：鼻でかぐ能力をふさぐ。嗅ぐことができない。
意味：鼻でかぐ能力をふさぐ。嗅ぐことができない。
特別問題A～数学～
a＝7k、b＝6k、c＝5k (k＞0)とおく。s＝(7k＋6k＋5k)/2＝9kとすると、ヘロンの公式より三角形の面積は
√{s(s－a)(s－b)(s－c)}＝√(9k・2k・3k・4k)＝6√6k2
その面積が12√6であるからk＝√2 したがって、a＝7√2
√{s(s－a)(s－b)(s－c)}＝√(9k・2k・3k・4k)＝6√6k2
その面積が12√6であるからk＝√2 したがって、a＝7√2
特別問題B～数学～
(1) cosθ＋√3sinθ＝2sin(θ＋π/6)であるから、－2≦cosθ＋√3sinθ≦2 また、0≦1＋cosθ≦2であるからf(θ)≧0
曲線Cは図のように原点の周りを一周するつながった曲線であるから
l＝f(θ)＋f(θ＋π)＝(1＋cosθ)(cosθ＋√3sinθ)＋4＋{1＋cos(θ＋π)}{cos(θ＋π)＋√3sin(θ＋π)}＋4＝(1＋cosθ)(cosθ＋√3sinθ)＋(1－cosθ)(－cosθ－√3sinθ)＋8＝2cos2θ＋2√3sinθcosθ＋8
(2) l＝2cos2θ＋2√3sinθcosθ＋8＝1＋cos2θ＋√3sin2θ＋8＝2sin(2θ＋π/6)＋9
0≦θ≦πからπ/6≦2θ＋π/6≦13π/6
よって、2θ＋π/6＝π/2 すなわちθ＝π/6のとき最大値2・1＋9＝11
2θ＋π/6＝3π/2 すなわちθ＝2π/3のとき最小値2・(－1)＋9＝7
(3) g(θ)＝{f(θ)－f(θ＋π)}/2
f(θ)－f(θ＋π)＝f(θ)＋f(θ＋π)＝(1＋cosθ)(cosθ＋√3sinθ)＋－{1＋cos(θ＋π)}{cos(θ＋π)＋√3sin(θ＋π)}＝(1＋cosθ)(cosθ＋√3sinθ)－(1－cosθ)(－cosθ－√3sinθ)＝2(cosθ＋√3sinθ)
ゆえに、g(θ)＝cosθ＋√3sinθ
(4) (3)から、描く曲線の極方程式はr＝cosθ＋√3sinθ
よって、r2＝rcosθ＋r√3cosθ r2＝x2＋y2、rcosθ＝x、rsinθ＝yであるからx2＋y2＝x＋√3y
ゆえに、求める曲線の方程式は(x－1/2)2＋(y－√2/2)2＝1
(5) θ＝7π/6のときr＝cos(7π/6)＋√3sin(7π/6)＝－√3/2＋√3(－1/2)＝－√3
よって、Mの座標は(－√3cos(7π/6),－√3sin(7π/6) すなわち(3/2,√3/2)
θ＝2πのとき、r＝cos2π＋√3sin2π＝1
よって、Mの座標は(1・cos2π,1・sin2π) すなわち(1,0)
したがって、Mが描く曲線は図のようになる。
曲線Cは図のように原点の周りを一周するつながった曲線であるから
l＝f(θ)＋f(θ＋π)＝(1＋cosθ)(cosθ＋√3sinθ)＋4＋{1＋cos(θ＋π)}{cos(θ＋π)＋√3sin(θ＋π)}＋4＝(1＋cosθ)(cosθ＋√3sinθ)＋(1－cosθ)(－cosθ－√3sinθ)＋8＝2cos2θ＋2√3sinθcosθ＋8
(2) l＝2cos2θ＋2√3sinθcosθ＋8＝1＋cos2θ＋√3sin2θ＋8＝2sin(2θ＋π/6)＋9
0≦θ≦πからπ/6≦2θ＋π/6≦13π/6
よって、2θ＋π/6＝π/2 すなわちθ＝π/6のとき最大値2・1＋9＝11
2θ＋π/6＝3π/2 すなわちθ＝2π/3のとき最小値2・(－1)＋9＝7
(3) g(θ)＝{f(θ)－f(θ＋π)}/2
f(θ)－f(θ＋π)＝f(θ)＋f(θ＋π)＝(1＋cosθ)(cosθ＋√3sinθ)＋－{1＋cos(θ＋π)}{cos(θ＋π)＋√3sin(θ＋π)}＝(1＋cosθ)(cosθ＋√3sinθ)－(1－cosθ)(－cosθ－√3sinθ)＝2(cosθ＋√3sinθ)
ゆえに、g(θ)＝cosθ＋√3sinθ
(4) (3)から、描く曲線の極方程式はr＝cosθ＋√3sinθ
よって、r2＝rcosθ＋r√3cosθ r2＝x2＋y2、rcosθ＝x、rsinθ＝yであるからx2＋y2＝x＋√3y
ゆえに、求める曲線の方程式は(x－1/2)2＋(y－√2/2)2＝1
(5) θ＝7π/6のときr＝cos(7π/6)＋√3sin(7π/6)＝－√3/2＋√3(－1/2)＝－√3
よって、Mの座標は(－√3cos(7π/6),－√3sin(7π/6) すなわち(3/2,√3/2)
θ＝2πのとき、r＝cos2π＋√3sin2π＝1
よって、Mの座標は(1・cos2π,1・sin2π) すなわち(1,0)
したがって、Mが描く曲線は図のようになる。