漢字戦場　～ブレイズム漢字講座ブログ～

1998時間目　～通常更新～

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ　人流

Ⅱ　師父

Ⅲ　融釈

Ⅳ　氷炭相愛す

レベルⅡ

Ⅰ　瓶水を移す

Ⅱ　留寓

Ⅲ　阿堵物

レベルⅢ

Ⅰ　鞠躬如

Ⅱ　光輝燦然

Ⅲ　盥耳

特別問題A～高校数学～

放物線y＝x²－4x＋5の焦点の座標、および準線の方程式を求めよ。　[東京農工大]

特別問題B～高校数学～

正の整数bに対してとおき、1以上n以下のすべての奇数の積をA_nとする。

(1) log₂n以下の最大の整数をNとするとき、2^NA_nS_nは奇数の整数であることを示せ。
(2) S_n＝2＋m/20となる正の整数の組(m,n)をすべて求めよ。
(3) 整数aと0≦b＜1をみたす実数bを用いてA₂₀S₂₀＝a＋bと表すとき、bの値を求めよ。　[大阪大]

1998時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ　人流・・・じんりゅう
意味
①：同類の人。仲間。
②：人を評論する。

Ⅱ　師父・・・しふ
意味
①：先生。師匠。
②：僧侶や道士などの敬称。

Ⅲ　融釈・・・ゆうしゃく
意味
①：解きほぐす。解ける。
②：問題点・疑いなどがさっぱりと解ける。

Ⅳ　氷炭相愛す・・・ひょうたんあいあい(す)
意味：性質の互いに反対なものが助け合うことのたとえ。

レベルⅡ

Ⅰ　瓶水を移す・・・ぴょうすい(を)うつ(す)
意味：師から弟子に法を伝授することをいう。

Ⅱ　留寓・・・りゅうぐう
意味：他郷にとどまっていること。

Ⅲ　阿堵物・・・あとぶつ
意味：金銭。お金。

レベルⅢ

Ⅰ　鞠躬如・・・きっきゅうじょ
意味：身をかがめて、つつしみかしこまること。

Ⅱ　光輝燦然・・・こうきさんぜん
意味：非常に鮮やかで光り輝くさま。

Ⅲ　盥耳・・・かんじ
意味：汚れた耳を洗い清める。

特別問題A～高校数学～

y＝x²－4x＋5＝(x－2)²＋1　よって(x－2)²＝y－1
これは放物線x²＝yをx軸方向に2、y軸方向に1だけ平行移動したものである。x²＝yはx²＝4・y/4と変形できるからその焦点は(0,1/4)、準線はy＝－1/4である。
したがって、求める放物線の焦点、準線は　焦点(2,5/4)、準線y＝3/4

特別問題B～高校数学～

(1) N≦log₂n＜N＋1から2^N≦n＜2^N+1・・・①　このとき1以上n以下の整数kは0≦a≦Nを満たす整数aと1≦b≦nを満たす奇数bを用いてk＝2^abと表され、2^NA_n・1/k＝2^NA_n/2^ab＝2^N-a・A_n/b
したがって0≦a≦N－1のとき2^NA_n/kは偶数であり、a＝Nのときb＝1、k＝2^Nで2^NA_n/k＝A_nは奇数である。
よって、2^NA_nS_nはn－1個の偶数と1個の奇数の和であるから奇数である。　■
(2) 2^NA_nS_n＝cとおくと、(1)よりcは奇数である。S_nがS_n＝2＋m/20(mは正の整数)・・・②と表されるとき、2^NA_n(2＋m/20)＝c　∴2^NA_n(40＋m)＝2²・5c
両辺の因数2の指数を比較すると2≧N　ゆえに①からn＜2^N+1≦2³＝8　∴n≦7
また、S_n＝2＋m/20＞2であり、S₁＝1、S₂＝3/2、S₃＝11/6、S₄＝25/12であるからn≧4である。
したがって、S_nが②で表されるのはnが4≦n≦7の範囲にあるときである。S₄＝25/12＝2＋1/(3・4)、S₅＝137/60＝2＋17/(3・20)、S₆＝49/20＝2＋9/20、S₇＝363/140＝2＋83/(7・20)
よって、②を満たす整数の組(n,m)は(6,9)
(3) A₂₀S₂₀＝A₂₀(1＋1/2＋1/3＋…＋1/20)＝A₂₀(1＋1/3＋1/5＋…＋1/19)＋A₂₀/2(1＋1/2＋…＋1/10)において、前半部分は10個の奇数の和であり、後半部分はさらに2つに分けるとA₂₀/2(1/3＋1/5＋1/7＋1/9)＋A₂₀S₅/4となる。前半部分は5個の奇数の和の1/2であるから、整数と1/2の和である。後半部分は(2)とS₅の値を用いてA₂₀S₅/4＝1/4・A₂₀・137/60＝(16・9－7)・7・9・11・13・15・17・19/16
この分子をmod16の合同式で計算すると(16・9－7)・7・9・11・13・15・17・19≡(－7)・7・(－7)・(－5)・(－3)・(－1)・1・3≡(－5)・7・9・49≡(－5)・7(－7)・1≡5・49≡5(mod16)
したがって1/4・A₂₀S₅は整数と5/16の和である。以上により、A₂₀S₂₀＝a＋b(aは整数、0≦b＜1)と表すとき、b＝1/2＋5/16＝13/16