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1981時間目 ～漢検一級～
次の漢字の読みを記せ。
Ⅰ 報賽
Ⅱ 鼠蹊部
Ⅲ 殷実
Ⅳ 殷軫
Ⅴ 傅佐
Ⅵ 樗蒲
Ⅶ 比諌
Ⅷ 沐恩
Ⅸ 梳盥－梳る
Ⅹ 按牘－按べる
特別問題A～中学数学～
関数y＝x2のグラフ上に2点A,Bがあり、Aのx座標は1/2－√3、Bの座標は1/2＋√3である。線分ABの中点をMとし、Mを通りABに垂直な直線と関数y＝x2のグラフとの交点のうち、x座標が負である方の点をCとおく。
(1) 点Mの座標と線分ABの長さを求めよ。
(2) 点Cの座標を求めよ。
(3) 三角形ABCの3辺の長さの比AB：BC：CAを求めよ。 [開成高]
特別問題B～高校数学～
△ABCを一辺の長さ6の正三角形とする。さいころを3回振り、出た目を順にX,Y,Zとする。出た目に応じて点P,Q,Rをそれぞれ線分BC,CA,AB上に BP＝X/6・BC、CQ＝Y/6・CA、AR＝Z/6・ABを満たすように取る。
(1) △PQRが正三角形になる確率を求めよ。
(2) 点B,P,Rを互いに線分で結んでできる図形をT1、点C,Q,Pを互いに線分で結んでできる図形をT2、点A,R,Qを互いに結んでできる図形をT3とする。T1,T2,T3のうちちょうど2つが正三角形になる確率を求めよ。
(3) △PQRの面積をSとし、Sのとり得る値の最小値をmとする。mの値およびS＝mとなる確率を求めよ。 [東京工大]
1981時間目模範解答
Ⅰ 報賽・・・ほうさい
意味：祈願が成就したお礼に神仏に参拝すること。
Ⅱ 鼠蹊部・・・そけいぶ
意味：腹部と接する下肢の内側。
Ⅲ 殷実・・・いんじつ
意味：充満して豊かなこと。
Ⅳ 殷軫・・・いんしん
意味：人数が多くてにぎやかなこと。
Ⅴ 傅佐・・・ふさ
意味：そばについていて上の人を助けること。
Ⅵ 樗蒲・・・ちょぼ、かりうち
意味：平たい楕円形の采をうって勝負を争う博打。
Ⅶ 比諌・・・ひかん
意味：近づき親しんで諌める。一説に事柄を比べて諌める。
Ⅷ 沐恩・・・もくおん
意味：恩をこうむる。恵みを受けること。
Ⅸ 梳盥－梳る・・・そかん－くしけず(る)
意味：髪をくしけずり手を洗う。
Ⅹ 按牘－按べる・・・あんとく－しら(べる)
意味：取り調べを必要とする書類や手紙。
特別問題A～中学数学～
(1) {(1/2－√3)＋(1/2＋√3)}÷2＝1/2 {(1/2－√3)2＋(1/2＋√3)2}÷2＝13/4
ゆえに、M(1/2,13/4) また、直線ABの傾きは1であるからAB＝{(1/2＋√3)－(1/2－√3)}×√2＝2√6
(2) 中点Mを通り線分ABに垂直な直線の式はy＝－x＋15/4
これとy＝x2によりx＝3/2、－5/2 ゆえにC(－5/2,25/4)
(3) AM：CM＝√6：3√2＝1：√3
したがって、△ABCは正三角形であることがわかるから、AB：BC：CA＝1：1：1
特別問題B～高校数学～
(1) △PQRが正三角形となるための必要十分条件はX＝Y＝Zだから、求める確率は6/63＝1/36
(2) T1とT2のみが正三角形となる条件はX＝6－Z≠0,Y＝6－X≠0,Z＝6－Y
よってY＝Z＝6－XかつX≠3,6 ゆえに(X,Y,Z)＝(1,5,5),(2,4,4),(4,2,2),(5,1,1)
よって、求める確率は他も同様にして4×3/63＝1/18
(3) △PQRの面積はS＝△ABC－(△BPR＋△CQP＋△ARQ)＝1/2・62・sin60°－1/2・{X(6－Z)＋Y(6－X)＋Z(6－Y)}sin60°＝√3/4・{36－(6X＋6Y＋6Z－XY－YZ－ZX)}
ここで、F＝6X＋6Y＋6Z－XY－YZ－ZX＝{6－(Y＋Z)}X＋6(Y＋Z)－YZとおくと、Sが最小値の時Fは最大になる。
[1]6－(Y＋Z)＞0すなわちY＋Z＜6のとき、F≦{6－(Y＋Z)}・6＋6(Y＋Z)－YZ＝36－YZ≦35 等号はY＝Z＝1のとき成り立つ。
[2]6－(Y＋Z)＝0すなわちY＋Z＝6のとき、F＝36－YZ＝36－Y(6－Y)＝(Y－3)2＋27≧31 等号はY＝5のとき成り立つ。
[3]6－(Y＋Z)＜0すなわちY＋Z＞6のとき、F≦{6－(Y＋Z)}・1＋6(Y＋Z)－YZ＝5(Y＋Z)－YZ＋6＝(5－Z)Y＋5Z＋6
(ア)1≦Z≦4のときF≦(5－z)・6＋5Z＋6＝36－Z≦35 等号はZ＝1のみ成り立つ。
(イ)Z＝5のとき、F＝31
(ウ)Z＝6のとき、F＝－Y＋36≦35 等号はY＝1のとき成立する。
[1],[2],[3]よりFの最大値は35 したがって、m＝minS＝√3/4・(36－35)＝√3/4
また、m＝√3/4となるとき(X,Y,Z)＝(6,1,1),(1,6,1),(1,1,6)のときであるから、求める確率は3/63＝1/72