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1587時間目 ~漢検一級~

次の問いに答えよ。

漢検一級配当読み

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 呑蝕

Ⅱ 峻絶

Ⅲ 敖盪

Ⅳ 疵釁

四字熟語・諺

次の四字熟語・諺の読みと意味を記せ。

Ⅰ 鍾馗大臣の棚から落ちたよう

Ⅱ 芙蓉の眥

Ⅲ 窃玉偸香

音読み・語義訓読み

次の熟語の音読みとそれに適する訓読みを記せ。

Ⅰ 鑿竅-鑿つ

Ⅱ 迴避-迴ける

Ⅲ 陜薄-陜い

特別問題~数学~

a,bは実数で、a2+b2=16、a3+b3=44を満たしている。このとき

(1) a+bの値を求めよ。
(2) nを2以上の整数とするとき、an+bnは4で割り切れる整数であることを示せ。 
[東京大]


1587時間目模範解答

漢検一級配当読み

Ⅰ 呑蝕・・・どんしょく
意味:だんだんと侵略していくこと。

Ⅱ 峻絶・・・しゅんぜつ
意味:比べるものがないほど非常にけわしい。

Ⅲ 敖盪・・・ごうとう
意味:勝手気ままなことをして暮らす。

Ⅳ 疵釁・・・しきん
意味
①:きずと、われめ。
②:つみや、とが。

四字熟語・諺

Ⅰ 鍾馗大臣の棚から落ちたよう・・・しょうきだいじん(の)たな(から)お(ちたよう)
意味:威張ってた者がしくじって、面目丸つぶれて惨めな状態をいう。

Ⅱ 芙蓉の眥・・・ふよう(の)まなじり
意味:蓮の花のように清らかでぱっちりした目。

Ⅲ 窃玉偸香・・・せつぎょくとうこう
意味:こっそり女に手を出して女色に耽ること。

音読み・語義訓読み

Ⅰ 鑿竅-鑿つ・・・さくきょう、さっきょう-うが(つ)
意味:穴を開ける。

Ⅱ 迴避-迴ける・・・かいひ-さ(ける)
意味:物事を避けてぶつからないようにする。回避。

Ⅲ 陜薄-陜い・・・きょうはく-せま(い)
意味:土地がせまくて、やせている。

特別問題~数学~

(1) a2+b2=16・・・① a3+b3=44・・・②はu=a+b、v=abについての方程式u2-2v=16・・・③.u3-3uv=44・・・④に書き換えることができる。ただし、u,vの値が求められたとき、a,bは2次方程式t2-ut+v=0の解として定まるので、そのa,bが実数であることから、u,vはu2-4v2≧0・・・⑤を満たす実数である。
③より、v=1/2・(u2-16)・・・⑥を用いて④からvを消去するとu3-3/2・u(u2-16)=44 ∴u3-48u+88=0となる。これを解くと(u-2)(u^2+2u-44)=0 よってu=2またはu=-1±√45・・・⑦
一方、⑥を③に代入してu2-2(u2-16)≧0 u^2≦32・・・⑧となる。
(1±√45)2=46∓2√45>32であるから、⑦、⑧をともに満たすuの値はu=2である。つまりa+b=2
(2) (1)の結果を⑥に代入してab=-6。そこで、Sn=an+bnとおき、nを2以上の整数とするとき、Snは4の倍数である・・・(*)を数学的帰納法で示す。
問題の仮定からn=2及びn=3のときは(*)が成り立つ。
次に、mを2以上の整数とし、n=mのときとn=m+1のとき(*)が成り立つと仮定するとき、am+2+bm+2=(a+b)(am+1+bm+1)-ab(am+bm)
∴Sm+2=2Sm+1+6SmであるからSm+2も4の倍数である。つまり、n=m+2のときも(*)が成り立つ。 
q.e.d.

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