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1563時間目 ~漢検一級~

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 雲蔚

Ⅱ 響抃

Ⅲ 家貲

Ⅳ 膾截

Ⅴ 瘡腫

Ⅵ 蘆雪

Ⅶ 堙陵

Ⅷ 夬履

Ⅸ 夸衒-夸る

Ⅹ 寥闃-寥しい

特別問題~数学~

実数aは、0<a<1を満たすとする。

(1) 3次方程式x3+3ax2+3(a2-1)x=0は3つの異なる実数解を持つことを証明せよ。
(2) 3次方程式x3+3ax2+3(a2-1)x-2=0は3つの異なる実数解を持つことを証明せよ。 
[埼玉大]


1563時間目模範解答

Ⅰ 雲蔚・・・うんうつ
意味:勢いが中にこもって盛んなこと。

Ⅱ 響抃・・・きょうべん
意味:号令・呼びかけなどにすばやく反応して勇み立つさま。

Ⅲ 家貲・・・かし
意味:一家の財産。

Ⅳ 膾截・・・かいせつ
意味:なますのように細かく切ること。

Ⅴ 瘡腫・・・そうしょう
意味:できもの。はれもの。

Ⅵ 蘆雪・・・ろせつ
意味:葦の穂の白いところを雪に見立てていう。

Ⅶ 堙陵・・・いんりょう
意味:次第におとろえること。堙替。

Ⅷ 夬履・・・かいり
意味:正しい道を決めてふみ行うこと。

Ⅸ 夸衒-夸る・・・こげん-ほこ(る)
意味:ほこりてらう。

Ⅹ 寥闃-寥しい・・・りょうげき-さび(しい)
意味:静かでさびしい。ひっそりして物淋しい。

特別問題~数学~

(1) x3+3ax2+3(a2-1)x=0・・・①から、x{x2+3ax+3(a2-1)}=0
よって、x=0またはx2+3ax+3(a2-1)=0・・・② ここで②の判定式をDとすると、D=(3a)2-4・1・3(a2-1)=3(4-a2)
0<a<1であるから、3(4-a2)>0 ゆえに②は異なる2つの実数解を持つ。
②に0を代入すると3(a2-1)=0。これを解くとa=±1となり、0<a<1を満たさない。よって、x=0は②の解ではない。
したがって、①は3つの異なる実数解を持つ。 q.e.d.
(2) x3+3ax2+3(a2-1)x-2=0・・・③ f(x)=3x3+3ax2+3(a2-1)-2とおくと、③の異なる実数解の個数はy=f(x)のグラフとx軸の共有点の個数と等しい。
f(x)=x3+3ax2+3(a2-1)x-2からf'(x)=3x2+6ax+3(a2-1)=3(x+a+1)(x+a-1)
f'(x)=0とするとx=-a-1,-a+1 -a-1<-a+1から、f(x)の増減表は図のfig1となる。
ここで、0<a<1より-2<-a-1<1、0<-a+1<1 よって-a-1<-1<0<-a+1であり、f(-a-1)>f(-1)=3a(1-a)>0、f(-a+1)<f(0)=-2<0 ゆえに、y=f(x)の図はfig2となる。
y=f(x)のグラフとx軸は3つの共有点を持つ。したがって、③は3つの異なる実数解を持つ。 
q.e.d.

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