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980時間目 ~通常更新~

次の漢字の読みと意味を記せ。

レベルⅠの章

Ⅰ 囚徒

Ⅱ 貧乏難儀は時の回り

Ⅲ 歳凶

Ⅳ 斉潔

レベルⅡの章

Ⅰ 楚夢雨雲

Ⅱ 祟悪

Ⅲ 錐刀を以て太山を堕たんとす

レベルⅢの章

Ⅰ 跛立箕坐

Ⅱ 振厲

Ⅲ 釘帖

特別問題~数学~

1辺の長さが1の正方形を底面とする四角柱OABC-DEGFを考える。3点P,Q,Rをそれぞれ辺AB、辺BF、辺CG上に、4点O,P,R,Qが同一平面上にあるようにとる。
四角形OPQRの面積をSとおく。∠AOPとα、∠CORをβとする。

(1) Sをtanα,tanβを用いて表せ。
(2) α+β=π/4,S=7/6であるとき、tanα+tanβの値を求めよ。さらにα<βのとき、tanαの値を求めよ。 
[東京大]


980時間目模範解答

レベルⅠの章

Ⅰ 囚徒・・・しゅうと
意味:牢獄に入っている罪人、囚人。

Ⅱ 貧乏難儀は時の回り・・・びんぼうなんぎ(は)とき(の)まわ(り)
意味:貧乏でも、苦しい目に遭って難儀しても、それは自分自身のせいではなく時が齎した単なるめぐりあわせに過ぎないこと。

Ⅲ 歳凶・・・さいきょう
意味:その年の穀物の実りが非常に悪いこと。

Ⅳ 斉潔・・・さいけつ
意味:ものいみして心身を清める。

レベルⅡの章

Ⅰ 楚夢雨雲・・・そむううん
意味:男女の情交のたとえ。男女の契り。

Ⅱ 祟悪・・・すうあく
意味:人物や怨霊などによって災厄を被る。たたり。

Ⅲ 錐刀を以て太山を堕たんとす・・・すいとう(を)もっ(て)たいざん(を)こぼ(たんとす)
意味:錐のような小さな刃物で大きな山を切り崩そうとする。微力な力で強大なものに反抗するたとえ。

レベルⅢの章

Ⅰ 跛立箕坐・・・はりゅうみざ
意味:無作法なさま。

Ⅱ 振厲・・・しんれい
意味:勢いが激しいこと、また、勇み揮うこと。奮迅

Ⅲ 釘帖・・・ていちょう
意味:釘で綴じること。

特別問題~数学~

(1) Oを原点、Dをz軸上の正の方向にとり、A(1,0,0)、B(1,1,0)、C(1,0,1)となるように座標軸を取ると、P(1,0,tanα)、R(0,1,tanα)である。
平面OCGD//平面ABFEよりOR//PQである。同様にOP//RQであるから四角形OPQRは平行四辺形である。よって
S=√{|OP|2|OR|2-(OP,OR)2}=√{(1+tan2α)(1+tan2β)-(tanαtanβ)2}=√(1+tan2α+tan2β)
(2) S=7/6より(1)の結果を用いて tan2α+tan2β=13/36・・・①
ここでtanα+tanβ=s、tanαtanβ=tとおくと、0<α<π/2、0<β<π/2であるのでs>0、t>0・・・②
①は s2-2t=13/36・・・③ と書き換えられる。また、α+β=π/4より
1=tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=s/(1-t) ∴s=1-t・・・④
④を③に代入し、s2-2(1-s)=13/36⇔36s2+72s-85=0⇔(6s+17)(6s-5)
②よりs=5/6 即ち tanα+tanβ=5/6
⑤を④に代入して t=1/6・・・⑥ ⑤、⑥よりtanα、tanβはX2-5/6X+1/6=0⇔(3x-1)(2x-1)=0の2解x=1/2,1/3と一致する。
0<α≦β<π/2、tanα<tanβより
tanα=1/3

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