836時間目 ~通常更新~

次の漢字の読みと意味を記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 差池

Ⅱ 百悔

Ⅲ 犬馬の労

レベルⅡ

Ⅰ 尺寸之柄

Ⅱ 析骸

Ⅲ 響応

レベルⅢ

Ⅰ 統馭

Ⅱ 梟殄

Ⅲ 痩馬の声嚇し

FINAL

岐嶷

特別問題~数学~

(1) log53は無理数であることを示せ。
(2) log10rが有理数となる有理数rはr=10q(q=±0,±1,±2,・・・)に限ることを示せ。
(3) 任意の正の整数nに対してlog10(1+3+32+・・・+3n)は無理数であることを示せ。 
[一橋大]


836時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 差池・・・さち
意味:高低上下するさま。不揃いなさま。参差。

Ⅱ 百悔・・・ひゃっかい
意味:百度も後悔すること。

Ⅲ 犬馬の労・・・けんば(の)ろう
意味:自分が人のために尽くして働くことを遜って言う言葉。

レベルⅡ

Ⅰ 尺寸之柄・・・せきすんのへい
意味:ごくわずかな権力。
使用例:一般選挙で落選し、比例で当選した議員は大体尺寸之柄しか担えない。

Ⅱ 析骸・・・せきがい
意味:死骸を焚いて燃料とする。
使用例:石油を燃やすことも析骸することと同じである。

Ⅲ 響応・・・きょうおう
意味:響きが声に応じるよう、人の言動に応じること。

レベルⅢ

Ⅰ 統馭・・・とうぎょ
意味:全体を纏めて支配すること。思い通りに扱うこと。
使用例:日本の政権を軍隊が統馭する。

Ⅱ 梟殄・・・きょうてん
意味:獄門にかけて滅ぼすこと。牢屋に入れて殺すこと。
使用例:大東亜戦争時代は降伏は梟殄を意味することと教育されていた。

Ⅲ 痩馬の声嚇し・・・やせうま(の)こえおど(し)
意味:鳴き声だけ威勢が良くて、力のないこと。

FINAL

岐嶷・・・いこよか、きぎょ
意味:厳しく立派なさま。

特別問題~数学~

(1) log53が有理数とすると log53=n/m と表せるので(n:整数、m:自然数)
3=5n/m となり、m乗すると 3m=5n
となる。m,nは整数なので、この両辺は素因数分解した形とみなせるが、m>0より、素因数3の個数が左辺と右辺とで矛盾する。
ゆえにlog53は無理数である。
(2) 真数条件よりr>0、log10rが有理数だから log10r=±n/m と表すことができる。
(Ⅰ) 0以上の時、r=10n/m、rm=10n・・・①
となる。rも有理数でr>0より r=t/s・・・② (r,sは互いに素の正数)
と表せる。よって (t/s)m=10n ∴tm=10nsm となり、sはtmの正の約数であるが、s,tは互いに素であり、s=1
よって tm=10n tm=2n・5n となり、tの素因数は2と5しかない。
両辺の素因数の個数が一致する為にtが含む素因数2,5の個数は等しい。 個数をqとおくと t=2q・5q=10q
s=1を②に代入するとr=t=10q
(Ⅱ) 0未満の時、r=10-n/m 1/r=10n/m
rが有理数なので1/rも有理数であり、①と同様である。よって、1/r=10q ∴r=10-q
qは素因数なので、0以上の整数であることを考え r=10q (q=0,±1,±2.・・・)
(3) 与式が有理数であるとすると、(2)より 1+3+32+・・・+3n=(3n+1-1)/3-1=10q
と表すことができる。 q>0より 3n+1=2・10q+1=3・10q-(10q-1) ∴3n+1+(10q-1)=3・10q
nは正なので n≧1、3n+1は9の倍数であるが10qは9の倍数ではない。以上より与式は無理数である。

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