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3276時間目 ~総合問題~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 武骨一辺

Ⅱ 海曲

Ⅲ 普現

Ⅳ 毛病

レベルⅡ

Ⅰ 尻の下の疣

Ⅱ 酒々井駅

Ⅲ 流祚

Ⅳ 群偸

レベルⅢ

Ⅰ 下渓駅

Ⅱ 貪惏

Ⅲ 逋播の臣

Ⅳ 釁聞

特別問題A~国語~

次のことわざ・名言のうち、日本発祥のものを選べ。但し、中国の故事成語は「外国のものとして扱う」ものとする。

(1) 驢馬でも濁った水は飲まない。
(2) 鉄は熱いうちに打て。
(3) 百聞は一見に如かず。
(4) お前のものは俺のもの。俺のものも俺のもの。
(5) 鬼に金撮棒。

特別問題B~数学~

∠A=∠B=π/2、BC=7、CD=6であるような台形ABCDの面積の最大値を求めよ。 [工学院大]

特別問題C~数学~

放物線C:y=x2/4-xと直線y=k (k>0)の交点をx座標の小さい方からA,Bとする。点A,BにおけるCの接線をそれぞれl,mとし、lとmの交点をPとする。

(1) 直線l,mの方程式と、点Pの座標を求めよ。
(2) △APBが正三角形となるようなkの値を求めよ。
(3) ∠PAB=75°になるようなkの値を求めよ。
(4) △APBの内接円の半径rが2k以上となるようなkの最大値を求めよ。 
[東京理科大]


3276時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 武骨一辺・・・ぶこついっぺん
意味:もっぱら無作法で風流を解せないこと。

Ⅱ 海曲・・・かいきょく
意味
①:海が陸地に入り込んだところ。
②:島をいう。

Ⅲ 普現・・・ふげん
意味:あまねく現れる。いたる所に出現する。

Ⅳ 毛病・・・もうへい
意味:馬の毛の悪い癖。転じて、一般に、欠点・癖・傷の意。

レベルⅡ

Ⅰ 尻の下の疣・・・しり(の)した(の)いぼ
意味:一番邪魔なところにある物のたとえ。

Ⅱ 酒々井駅・・・しすいえき[]
概容:千葉県印旛郡にある、成田線の駅。

Ⅲ 流祚・・・りゅうそ
意味
①:幸いを広く及ぼす。
②:広く及ぶさいわい。

Ⅳ 群偸・・・ぐんとう
意味:大勢で、仲間を組んだ盗賊。

レベルⅢ

Ⅰ 下渓駅・・・はげえき[]
概容:韓国のソウル交通公社7号の駅。

Ⅱ 貪惏・・・たんらん、どんらん
意味:非常に欲が深いこと。

Ⅲ 逋播の臣・・・ほはん(の)しん
意味:逃亡して各地をさまよう臣。

Ⅳ 釁聞・・きんぶん
意味:明らかでないさま。

特別問題A~国語~

(5)

※(4)はイギリスのことわざとして存在する。

特別問題B~数学~

∠BCDをθとすると、0<θ<πで、AB=6sinθ、AD=7-6sinθであるから、台形ABCDの面積をS(θ)とすると
S(θ)=1/2・(7-6cosθ+7)・6sinθ=3sinθ(14-6cosθ)=42sinθ-18sinθcosθ=42sinθ-9sin2θと表される。
S'(θ)=42cosθ-18cos2θ=42cosθ-18(2cos2θ-1)=-36cos2θ+42cosθ+18=-6(6cos2θ-7cosθ-3)=-6(2cosθ-3)(3cosθ+1)より、cosθ=-1/3
0<θ<πにおける解をαとすると、S(θ)の増減は下のようになる。
$
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|} \hline
   \theta & 0 & \cdots & \alpha & \cdots & \pi \\ \hline
   S'(\theta) &  & + & 0 & - &  \\ \hline
   S(\theta) &  & \nearrow &  & \searrow &  \\ \hline
\end{array}
$
よって、S(θ)はx=αで極大かつ最大となり、cosα=-1/3よりsinα=√{1-(-1/3)2}=2√2/3、sin2α=2sinαcosα=2・2√2/3・(-1/3)=-4√2/9であるから、S(θ)の最大値は、S(α)=42sinα-9sin2α=42・2√3/3-9(-4√2/9)=
32√2

特別問題C~数学~

(1) x2/4-x=kを解く。x2-4x-4k=0、∴x=2±√(4+4k)
A,Bのx座標をそれぞれα、βとすると、α=2-2√(1+k)、β=2+2√(1+k)
y=x2/4-xのとき、y'=x/2-1、l:y=(α/2-1)(x-α)+α2/4-α、∴y=(α/2-1)x-α2/4・・・①
l:y=-√(1+k)x+2√(1+k)-2-k
m:y=(β/2-1)x-β^2/4・・・②、m:y=√(1+k)x-2√(1+k)-2-k
②-①より1/2・(β-α)x-1/4・(β2-α2)=0
β≠αよりx=1/2・(α+β)=2、x=(α+β)/2を①に代入して
y=(α/2-1)・(α+β)/2-α2/4=αβ/4-(α+β)/2=1/4・(-4k)-1.2・4=-k-2
よって、点Pの座標は(2,-k-2)
(2) △APBが正三角形となるのは、mの傾きがtan60°=√3のときで、√(1+k)=√3、よって、k=2
(3) ∠PAB=75°になるのは、tan75°=tan(30°+45°)=(tan30°+tan45°)/(1-tan30°tan45°)=(1/√3+1)/(1-1/√3)=(√3+1)/(√3-1)=2+√3
よって、√(1+k)=2+√3、1+k=7+4√3 ∴k=6+4√3
(4) ABの中点(2,k)をMとする。△PABはPA=PBの二等辺三角形であるから、Mから2kの内接円CはABとMで接する。
Mから2kだけ下ろした点をQ(2,k-2k)=(2,-k)とする。Qと直線ABの距離をhとする。点と直線の距離の公式より、h=2/√(1+1+k)となる。
r≧2kとなるための必要十分条件は、h≧2kである。
2/√(2+k)≧2k ∴k√(2+k)≦1、k3-2k2-1≦0、(k+1)(k2+k-1)≦0
k>0より0<k≦(-1+√5)/2 よって、最大値kは
(-1+√5)/2

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