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3241時間目 ~総合問題~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 足本

Ⅱ 荒倹

Ⅲ 美茂

Ⅳ 舎生取義

レベルⅡ

Ⅰ 築蓋

Ⅱ 緝捕

Ⅲ 中風病みに蒟蒻の楯を持たせたよう

Ⅳ 空閨

レベルⅢ

Ⅰ 洶歘

Ⅱ 就使

Ⅲ 弗詢の謀

Ⅳ 燔醢

特別問題A~雑学~

次の設問に答えなさい。

(1) ことわざで「卑怯な謀略を巡らせて相手を陥れること」を、「何を掻く」というでしょう?
(2) 新年を迎えて初めて開催される茶会のことを、特に何というでしょう?
(3) ジャンボ宝くじの当選等級は1等から何等まであるでしょう?
(4) 現在のさいたま市のもととなった4つの市は、浦和市、大宮市、与野市と何でしょう?
(5) 1573年、遠江国に侵攻した武田信玄と徳川家康が戦った戦いで、徳川家康が唯一敗れた戦いとして知られるのは何でしょう?

特別問題B~数学~

曲線C:2x2-2xy+y2=4があり、この曲線で囲まれる面積をSとする。次の問いに答えよ。

(1) 曲線Cの概形を図示せよ。
(2) 面積Sを求めよ。 
[埼玉大]

特別問題C~数学~

x,y,zは、負でない実数で、x+y+z=1である。このとき0≦xy+yz+zx-2xyz≦7/27であることを示せ。


3241時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 足本・・・そくほん
意味:欠けた部分がない完全な書籍。

Ⅱ 荒倹・・・こうけん
意味:凶年で収穫が少ない。

Ⅲ 美茂・・・びも
意味:うるわしくすぐれている。

Ⅳ 舎生取義・・・しゃせいしゅぎ
意味:結果として命を落とすことになっても、正義を守ること。

レベルⅡ

Ⅰ 築蓋・・・ちくがい
意味:家を建て屋根をふく。新築すること。

Ⅱ 緝捕・・・しゅうほ
意味:罪人を取り押さえること。逮捕。また、その役人。

Ⅲ 中風病みに蒟蒻の楯を持たせたよう・・・ちゅうぶや(みに)こんにゃく(の)たて(を)も(たせたよう)
意味:ぶるぶるふるえて安定しないさまのたとえ。

Ⅳ 空閨・・・くうけい
意味:ひとりねの寝室。空房。

レベルⅢ

Ⅰ 洶歘・・・きょうくつ
意味:波の立つ形容。

Ⅱ 就使・・・たとえ
意味:仮定して言う語。よしや。仮に。

Ⅲ 弗詢の謀・・・ふつじゅん(の)はかりごと
意味:衆人にはからない計謀。

Ⅳ 燔醢・・・はんかい
意味:焼いてししびしおにすること。

特別問題A~雑学~

(1) 寝首
(2) 初釜
(3) 7等
(4) 岩槻市
(5) 三方ヶ原の戦い

特別問題B~数学~

(1) C:2x2-2xy+y2=4より、(y-x)2=4-x2、(y-x)2≧0だから4-x2≧0 ∴-2≦x≦2
この条件でy=x±√(4-x2)、f(x)=x+√(4-x2)とおくと、f'(x)=1-x/√(4-x2)=(√(4-x2)-x)/√(4-x2)
f'(x)=0とおくと、√(4-x2)=x、x2=2 (0≦x≦2) よって、x=√2
-2≦x≦2の範囲で増減表を作ると次のようになる。
$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|} \hline
  x  & -2 & \cdots & \sqrt2 & \cdots & 2 \\ \hline
  f'(x)  &  & + & 0 & - &  \\ \hline
  f(x)  & -2 & \nearrow & 2\sqrt2 & \searrow & 2 \\ \hline
\end{array}
$
また、g(x)=x-√(4-x2)とおくと、g(-x)=-x-√(4-x2)=-f(x)だから、y=f(x)のグラフを原点に関して対称移動したものである。
よって曲線Cの概形はのようになる。
(2) 曲線Cで囲まれる面積Sは直線y=xで2等分されるから
$S=2\int^2_{-2}(x+\sqrt{4-x^2}-x)dx=2\int^2_{-2}\sqrt{4-x^2}dx$
これは円x2+y2=4の面積に等しいから、S=π・22

特別問題C~数学~

問題の不等式は対称式だから0≦z≦x≦yと仮定してよい。x+y+z=1であるから、z≦1/3<1/2である。したがって
G=xy+yz+zx-2xyz=z(x+y)+xy(1-2z)≧0である。
また、x+y≧2√xyであるから(1-z)2=(x+y)2≧4xyである。よって
G-7/27=z(x+y)+xy(1-2z)-7/27≦z(1-z)+1/4・(1-z)2(1-2z)-7/27=-(3z-1)2(6z+1)/108≦0
となる。よって、0≦G≦7/27である。

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