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3233時間目 ~総合問題~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 永隔

Ⅱ 昏倒

Ⅲ 柱国

Ⅳ 二姓の好

レベルⅡ

Ⅰ 玉躬

Ⅱ 玉を以て鳥に抛つ

Ⅲ 疏舛

Ⅳ 畢覧

レベルⅢ

Ⅰ 晨飆

Ⅱ 截趾適屨

Ⅲ 椒花頌

Ⅳ 穿踰

特別問題A~雑学~

次の設問に答えなさい。

(1) 254勝10負という驚異的な勝率を誇った、史上最強の呼び声高い江戸時代の力士は誰でしょう?
(2) 足以外の部分が床に触れる「リーニング」や故意に座り込む「シッティング」などの反則があるスポーツは何でしょう?
(3) アイヌ語で「ヨシが生えた湖」という意味を持つ、琵琶湖、霞ケ浦に次いで日本で3番目の面積を持つ湖は何でしょう?
(4) 数学者のブノワ・マンデルブローが提唱した、一部を拡大すると全体と同じ図形になるという性質を持った図形を何というでしょう?
(5) 青森県の郷土料理「いちご煮」で、いちごに見立てられる海産物は何でしょう?

特別問題B~数学~

曲線C:√(x/6)+√(y/4)=1 (x,yは実数、x≧0、y≧0)について考える。曲線Cとx軸とy軸で囲まれた図形の面積をSとする。Sの値を求めよ。 [自治医科大]

特別問題C~数学~

容量1リットルのm個のビーカーに水が入っている。m≧4で空のビーカーはない。入ってる水の総量は1リットルである。また、xリットルの水が入っているビーカーがただ1つあり、その他のビーカーにはxリットル未満の水しか入っていない。このとき、水の入っているビーカーが2個になるまで、次の(a)から(c)までの操作を、順に繰り返し行う。
(a) 入っている水の量が最も少ないビーカーを一つ選ぶ。
(b) さらに、残りのビーカーの中から、入っている水の量が最も少ないものを一つ選ぶ。
(c) 次に、(a)で選んだビーカーの水を(b)で選んだビーカーにすべて移し、空になったビーカーを取り除く。
この操作の過程で、入っている水の量が最も少ないビーカーの選び方が一通りに決まらないときは、そのうちのいずれも選ばれる可能性があるものとする。

(1) x<1/3のとき、最初にxリットルの水の入っていたビーカーは、操作の途中で取り除かれるか、または最後まで残って水の量が増えていることを証明せよ。
(2) x>2/5のとき、最初にxリットルの水の入っていたビーカーは、最後までxリットルの水が入ったままで残ることを証明せよ。 
[東京大]


3233時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 永隔・・・えいかく
意味:長く別れること。永別。

Ⅱ 昏倒・・・こんとう
意味:めまいがして倒れる。目がくらんで気絶する。

Ⅲ 柱国・・・ちゅうこく
意味:国家を支える重要な人物。また、土地。

Ⅳ 二姓の好・・・にせい(の)こう
意味:夫の家と妻の家との親しい交際のこと。

レベルⅡ

Ⅰ 玉躬・・・ぎょっきゅう
意味
①:天子の身体の尊称。
②:賢者の身体。

Ⅱ 玉を以て鳥に抛つ・・・たま(を)もっ(て)とり(に)なげう(つ)
意味:多すぎれば、よい物でも大切にされないたとえ。

Ⅲ 疏舛・・・そせん
意味:粗雑で道理に背くこと。

Ⅳ 畢覧・・・ひつらん
意味:ことごとく見る。見終わる。

レベルⅢ

Ⅰ 晨飆・・・しんぴょう
意味:朝のつむじ風をいう。

Ⅱ 截趾適屨・・・せっしてきく
意味:本末を転倒して無理に物事を行うこと。

Ⅲ 椒花頌・・・しょうかしょう
意味:新年を祝う言葉。

Ⅳ 穿踰・・・せんゆ
意味:壁をうがち垣根を越える小盗人。

特別問題A~雑学~

(1) 雷電為右ェ門
(2) 綱引き
(3) サロマ湖
(4) フラクタル
(5) ウニ

特別問題B~数学~

√(x/6)+√(y/4)=1からy/4=1-2√(x/6)+x/6、y=4-8/√6・√x+2x/3
求める面積Sは、の網目部分の面積であるから
$S=\int^6_0(4-\frac{8}{\sqrt6}\sqrt x+\frac{2}{3}x)dx\\=[4x-\frac{16}{3\sqrt6}x^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{3}x^2]^6_0\\=24-32+12=\color{red}6$

特別問題C~数学~

(1) 最初にxリットルの水の入っていたビーカーが、最後までxリットルの水が入ったままで残ると仮定する。(a)から(c)までの操作を繰り返し行い、ビーカーが3つとなったとする。このとき、他の2つのビーカーにそれぞれyリットル、zリットル(z≦y)入ってたとすると、xリットルの水が入っているビーカーが最後の操作でもそのまま残るから、z≦y≦x (x+y+z=1)でなければならない。
ところが、x<1/3より1=x+y+z≦3x<1 ∴1<1となり、不合理である。よって、題意は示された。
(2) x≧5のとき、m個のビーカーに入っている水の量を小さい順にx1≦x2≦・・・≦xm-1<xm=xとすると、x1+x2+・・・+xm-1+x=1、x>2/5であるから、m-1≧4であることに注意すると、2(x1+x2)≦x1+x2+・・・+xm-1=1-x<3/5
∴x1+x2<3/10<2/5<x、したがって、(a)から(c)までの操作を繰り返してもビーカーが4個になるまでは、xを越える水量の入ったビーカーはない。
そこでm=4とし、x1≦x2≦x3<x4=x・・・①として、1=x1+x2+x3+x4として、x1+x2<xとなることを示しておけばよい。
いま、x1+x2≧xと仮定すると、1=x1+x2+x3+x4≧x+x3+x
x>2/5だから、x3≦1-2x<1/5 ∴x3<1/5 したがって①より
x1≦x2<1/5となりx1+x2<2/5<x ∴x1+x2<x
これははじめの仮定に矛盾する。よって、x1+x2<xとなり、題意は示された。

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