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3147時間目 ~諺・四字熟語~

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 馬革に屍を包む

Ⅱ 陣門に降る

Ⅲ 聖道の当て字

Ⅳ お前追従する者は必ず陰にて謗る

Ⅴ 天狗も雨宿り

Ⅵ 天下蒼生

Ⅶ 独行踽踽

Ⅷ 漂蕩奔逸

Ⅸ 矛盾撞着

Ⅹ 一敗塗地

特別問題A~雑学~

次の設問に答えなさい。

(1) 1972年にそれまでのセイロンからスリランカに国名を改称させた同国の首相で、世界初の女性首相として知られるのは誰でしょう?
(2) 原子や分子がとり得る最もエネルギー準位の低い状態のことを、「励起状態」に対して何というでしょう?
(3) 第二次世界大戦末期にヤルタ会談が行われたヤルタとは、現在のどこの国にあるでしょう?
(4) 「スカンジナビア航空」「睡眠時無呼吸症候群」「サザンオールスターズ」に共通する、アルファベット3文字の略称は何でしょう?
(5) 病院などで初診の際にカルテに記載される過去に罹ったことのある病気や外傷のことを、漢字三文字で何というでしょう?

特別問題B~数学~

曲線2x2+y2-4y=0をCとする。点P(x,y)が曲線C上を動くとき、xyの最大値と最小値を求めよ。 [山口大]

特別問題C~数学~

次の問いに答えよ。

(1) 関数f(z)=・sinz/z (z≠0),・1 (z=0)は整関数、すなわち複素平面の各点で正則な関数であることを示せ。
(2) 円|z|=2の周上を正の向きに1周する積分路をCとする。次の積分を計算せよ。 [東北大学院]
$\displaystyle \int_C\frac{z\sin(1-z)}{(1-z^2)^2}dz$


3147時間目模範解答

Ⅰ 馬革に屍を包む・・・・ばかく(に)しかばね(を)つつ(む)
意味:兵士が戦場で死ぬことをいう。

Ⅱ 陣門に降る・・・じんもん(に)ふ(る)
意味:敵に降参する。軍門に降る。

Ⅲ 聖道の当て字・・・しょうどう(の)あ(て)じ
意味:聖道門ともいわれる天台・真言の両宗では、いろいろな当て字を使うことが多いこと。

Ⅳ お前追従する者は必ず陰にて謗る・・・(お)まえついしょう(する)もの(は)かなら(ず)かげ(にて)そし(る)
意味:人の面前でこびへつらう者は、陰にまわると悪くなる。

Ⅴ 天狗も雨宿り・・・てんぐ(も)あまやど(り)
意味:濡れて行くわけには行かないということ。

Ⅵ 天下蒼生・・・てんかそうせい
意味:天下の万民のこと。

Ⅶ 独行踽踽・・・どっこうくく
意味:孤独で頼る親者がいないこと。

Ⅷ 漂蕩奔逸・・・ひょうとうほんいつ
意味:あてどもなく漂い動き、走り回ること。

Ⅸ 矛盾撞着・・・むじゅんどうちゃく
意味:二つの事柄が理論的に食い違って、つじつまが合わないこと。

Ⅹ 一敗塗地・・・いっぱいとち
意味:再び立ち上がることができないほど大敗すること。

特別問題A~雑学~

(1) バンダラナイケ
(2) 基底状態
(3) ウクライナ
(4) SAS
(5) 既往症

特別問題B~数学~

与式を変形すると、2x2+y2-4y=0より2x2+(y-2)2=22
ゆえに、C:(x2/√2)2+((y-2)2/2)2=1・・・①
①より曲線C上の点Pは直線O'PとX軸のなす角θ(0≦θ<2π)を用いると(x軸∥X軸、OはCの中心)、(x,y)=(√2cosθ,2sinθ+2)と表される。
したがって、xy=√2cosθ(2sinθ+2)=2√2cosθ(sinθ+1)
ここで、f(θ)=cosθ(sinθ+1)とおいて、関数f(θ)の変化について調べる。
f'(θ)=-sinθ(sinθ+1)+cosθ・cosθ=cos2θ-sin2θ-sinθ=-2sin2θ-sinθ+1=-(2sinθ-1)(sinθ+1)
f'(θ)=0となるのは、θ=π/6,5π/6,3π/2のときである。また、-1≦sinθ≦1よりf(θ)の増減表は次のようになる。
$
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|} \hline
   \theta & 0 & \cdots & \cfrac{\pi}{6} & \cdots & \cfrac{5}{6}\pi & \cdots & \cfrac{3}{2}\pi&\cdots&2\pi\\ \hline
  f'(\theta)  &  & + & 0 & - & 0 & + & 0& +&\\ \hline
  f(\theta)  & 1 & \nearrow &  & \searrow & & \nearrow & & \nearrow&1 \\ \hline
\end{array}
$
表より、関数f(θ)はθ=π/6のとき極大値3√3/4、θ=5π/6のとき極小値-3√3/4をとる。
したがって、xy=2√2f(θ)であるから
(x,y)=(√6/2,3)のとき最大値3√6/2
(x,y)=(-√3/2,3)のとき、最小値-3√6/2

特別問題C~数学~

(1) f(z)はz=0の各点で微分可能であるため、z=0でも微分可能であることを示す。
$\displaystyle\lim_{z\to0}\frac{f(z)-f(0)}{z-0}=\lim_{z\to0}\frac{\frac{\sin z}{z}-1}{z}\\\displaystyle=\lim\frac{\sin z}{z^2}\\\displaystyle=\lim_{z\to0}\left(-\frac{1}{3!}z+\frac{1}{5!}z^3-\cdots\right)$
よって、f(z)はz=0でも微分可能である。
(2) |z|<2内で関数$\displaystyle \frac{z\sin(1-z)}{(1-z^2)^2}dz$は特異点z=±1(1位の極)をもち
$\displaystyle Res(1)=\lim_{z\to1}(z-1)\frac{z\sin(1-z^2)}{(1-z^2)^2}\\\displaystyle=-\lim_{z\to1}\frac{z}{1+z}\lim_{z\to1}\frac{\sin(1-z^2)}{1-z^2}\\\displaystyle=-\frac{1}{2}\cdot1=-\cfrac{1}{2}$
$\displaystyle Res(-1)=\lim_{z\to-1}(z+1)\frac{z\sin(1-z^2)}{(1-z^2)^2}\\\displaystyle=-\lim_{z\to-1}\frac{z}{1-z}\lim_{z\to-1}\frac{\sin(1-z^2)}{1-z^2}\\\displaystyle=-\frac{1}{2}\cdot1=-\cfrac{1}{2}$
ゆえに、留数定理より
$\displaystyle \int_C\frac{z\sin(1-z)}{(1-z^2)^2}dz\\\displaystyle=2\pi i\{Res(1)+Res(-1)\}\\=2\pi i\{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\}=\color{red}{-2\pi i}$

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