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3083時間目 ~漢字一文字~

次の漢字の読みあるいは字義を記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 阻む

Ⅱ 併し

Ⅲ 濠

レベルⅡ

Ⅰ 孛

Ⅱ 娶る

Ⅲ 痼る

レベルⅢ

Ⅰ 靠う

Ⅱ 膢る

Ⅲ 韁

Ⅳ 鷭

特別問題A~雑学~

次の設問に答えよ。

(1) ナスカの地上絵の研究に力を入れ、ペルーにナスカ研究所を持つ東北地方の大学は何でしょう?
(2) 地域によって凍み豆腐や、凍り豆腐という、凍らせてから乾燥させた豆腐を、ある山の僧侶が精進料理として食べたことから何というでしょう?
(3) 赤ちゃんが行う原始反射の一つで、口もとに小指や乳首などを持っていくと強く吸うものを何反射というでしょう?
(4) 熱心な広島ファンが名付けたカープ島という島がある、日本とも関係が深い太平洋に浮かぶ島国はどこでしょう?
(5) 「東の小京都」と呼ばれる栃木県の都市で、フランシスコ・ザビエルが「坂東の大学」と呼んだ教育機関があったのはどこでしょう?

特別問題B~数学~

次の設問に答えよ。

(1) AB=ACである三角形ABCの辺AC上に頂点A,Cと異なる点Dがあり、AD=DB=BC=1である。このとき、∠Aの大きさを求めよ。
(2) (1)を利用してsin18°=(√5-1)/4であることを示せ。
(3) ∠E=72°、∠F=α、∠G=βである三角形EFGにおいて、sinα+sinβの最大値を求めよ。 
[静岡大]

特別問題C~数学~

次の式、x=tanθ、y=1/cosθ (0≦θ<π/2)で表されるxy平面上の曲線Cを考える。定数t>0に対し、点P(t,0)を通りx軸に垂直な直線lと曲線Cの交点をQとする。曲線C、x軸、y軸および直線lで囲まれた図形の面積をS1とし、△OPQの面積をS2とする。

(1) S1,S2をtを用いて表せ。
(2) 極限$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{S_1-S_2}{\log t}$を求めよ。 
[東京工業大]


3083時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 阻む・・・はば(む)
意味
①:進もうとするのを妨げる。
②:気持ちがくじける。

Ⅱ 併し・・・しか(し)
意味
①:そうではあるが。けれども。
②:それはそれとして。
③:それにしても。なんとまあ。

Ⅲ 濠・・・ほり
意味
①:土地を掘って水を通した所。
②:敵の侵入を防ぐため、城の周囲を掘って水をたたえたもの。

レベルⅡ

Ⅰ 孛・・・ほうきぼし
意味:彗星のこと。

Ⅱ 娶る・・・めと(る)
意味:妻として迎える。

Ⅲ 痼る・・・しこ(る)
意味
①:しこりができる。
②:物事に熱中する。
③:盛んに~する。

レベルⅢ

Ⅰ 靠う・・・たが(う)
意味:相違する。一致しない。

Ⅱ 膢る・・・まつ(る)
意味:飲食をまつる祭り。

Ⅲ 韁・・・きずな
意味
①:馬をつなぐ綱。
②:人を束縛するものに例える。

Ⅳ 鷭・・・もず[]
モズ科の小鳥。

特別問題A~雑学~

(1) 山形大学
(2) 高野豆腐
(3) 吸啜反応
(4) パラオ
(5) 足利市

特別問題B~数学~

(1) AB=AC、AD=DB=BCより△ABC∽△BCD、よって∠A=1/5×180°=36°
(2) AB=xとおくと、x:1=1:(1-x)、よってx2-x-1=0、x>0よりx=(1+√5)/2
ゆえに、sin18°=(1/2BC)/AB=(1/2)/AB=(1/2)/x=1/(1+√5)=(√5-1)/4 ■
(3) α+β=180°-72°=108°だからsinα+sinβ=2sin{(α+β)/2}cos{(α-β)/2}=2sin54°cos(α-54°)
ここで0°<α<108°より-54°<α-54°<54°だからcos(α-54°)の最大値はcos0=1
したがって、sinα+sinβの最大値は(1),(2)より2sin54°=2cos36°=2(1/2AB)/AD=AB=
(1+√5)/2

特別問題C~数学~

(1) C:x=tanθ・・・①、y=1/cosθ (0≦θ<π/2) 1+tan2θ=1/cos2θより①、②からθを消去して1+x2=y2、x2-y2=1・・・③
したがって、曲線Cはのような双曲線の第1象限にある部分で赤と茶の面積和がS1、赤色がS2である。
$S_1=\int^t_0ydy=\int^t_0\sqrt{x^2+1}dx$

$=[\cfrac{1}{2}(x\sqrt{x^2+1}+\log|x+\sqrt{x^2+1}|)]^t_0$

$=\color{cyan}{\cfrac{1}{2}\{t\sqrt{t^2+1}+\log(t+\sqrt{t^2+1})\}}$
S21/2・t√(t2+1)
(2) (1)よりS1-S2=1/2・log(t+√(t2+1))
(S1-S2)/logt=1/2・log(t+√(t2+1))/logt=1/2・log{t(1+√(t2+1)/t)}=1/2・{1+1/logt・log(1+√(1+1/t2)}
よって、$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{S_1-S_2}{\log t}=\color{red}{\cfrac{1}{2}}$

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