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3070時間目 ~ADVANCED~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 何首烏

Ⅱ 烏克蘭

Ⅲ 言悪い

レベルⅡ

Ⅰ 下炬

Ⅱ 凶凶し

Ⅲ 槐葉柄

レベルⅢ

Ⅰ 卵蒜

Ⅱ 奈女魚

Ⅲ 北魚

FINAL

羅幼文

特別問題A~雑学~

次の設問に答えなさい。

(1) お祝い事に用いられる「熨斗」は、もともとどんな海産物から作られているでしょう?
(2) シャンプーとリンスのうち、容器の側面にギザギザがついているのはどちらでしょう?
(3) 下駄の底についている、接地部となるでっぱりのことを何というでしょう?
(4) 正統派のことを英語で「オーソドックス」と言うのに対して、異端派のことを英語で何というでしょう?
(5) オペラ『蝶々夫人』のヒロイン役で世界的に有名となった、日本初のオペラ歌手である女性は誰でしょう?

特別問題B~数学~

関数y=sin2xcos2x+3sinxcosx+3cos2xをt=sin2x+cos2xの関数として表すとy=[ ]となる。したがって、関数yの最小値は[ ]となる。 [東海大]

特別問題C~数学~

nを自然数とする。このとき、次の問いに答えなさい。

(1) a>0、n≧3のとき、次の不等式が成り立つことを証明しなさい。
(1+a)n>n(n-1)(n-2)a3/6
(2) r>1のとき、極限値$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{r^n}$を求めなさい。 
[山口大]


3070時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 何首烏・・・つるどくだみ[]
タデ科の多年草。

Ⅱ 烏克蘭・・・ウクライナ[]
ヨーロッパ東部にある国の名。

Ⅲ 言悪い・・・いいにく(い)
意味:口に出すことがためらわれる。また、発音しにくいこと。

レベルⅡ

Ⅰ 下炬・・・あこ
意味:禅宗で、火葬のときに導師が遺体に火をつけること。

Ⅱ 凶凶し・・・まがまが(し
意味
①:いまわしい。不吉な感じである。
②:忌々しい。

Ⅲ 槐葉柄・・・はぶそう[]
マメ科の一年草。

レベルⅢ

Ⅰ 卵蒜・・・にんにく[]
ユリ科の多年草。

Ⅱ 奈女魚・・・はや[]
コイ科に属する淡水魚。

Ⅲ 北魚・・・さけ[]
サケ目サケ亜科サケ科の一種。

FINAL

羅幼文・・・ばかがい[]
バカガイ科の二枚貝。

特別問題A~雑学~

(1) あわび
(2) シャンプー
(3) 歯
(4) ヘテロドックス
(5) 三浦環

特別問題B~数学~

t=sin2x+cos2xとおくと
y=sin2x+cos2x+3sinxcosx+3cos2x={(sin2x+cos2x)2-(sin22x+cos22x)}/2+3sin2x/2+2(1+cos2x)/2={(sin2x+cos2x)2+(2sin2x+cos2x)+2}/2=(t2+3t+2)/2=8t+3/2)2/2-1/8
tがとり得る値の範囲はt=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π/4) ∴-√2≦t≦√2
この範囲で単調増加だから最小値はy={(-√2)+2(-√2)+2}/2=
(4-3√2)/2

特別問題C~数学~

(1) 二項定理より$\displaystyle (1+a)^n=\sum^n_{r=0}{}_nC_r=1+{}_nC_1a+{}_nC_2a^2+\cdots+{}_nC_na^n$
ここでa>0、n≧3より上式の各項は正である。よって
(1+a)n>1+na+nC2a+nC3a3nC3a3=n(n-1)(n-2)a3/6
(2) r>1よりr=1+a(a>0)とおける。極限を考えるのであるからn≧3である。
(1)よりrn=(1+a)nnC3a3=n(n-1)(n-2)a3/6
両辺が正であるから逆数をとり、両辺にn^2(n>0)を掛けると
0<n2/rn<6n2/{n(n-1)(n-2)a3}・・・①、したがって
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{6n^2}{n(n-1)(n-2)a^3}=\frac{6\frac{1}{n}}{(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})a^3}=0$
①よりはさみうちの原理より$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{r^n}=\color{red}0$

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