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3054時間目 ～漢字一文字～
次の漢字の読みあるいは字義を記せ。
レベルⅠ
Ⅰ 雇う
Ⅱ 更かす
Ⅲ 朗らか
レベルⅡ
Ⅰ 阿る
Ⅱ 佩く
Ⅲ 穡しむ
レベルⅢ
Ⅰ 鐫める
Ⅱ 秼う
Ⅲ 眡う
Ⅳ 獒
特別問題A～雑学～
次の設問に答えなさい。
(1) バサロ泳法やバタフライで用いられる足腰の動きを、ある動物にちなんで何キックというでしょう？
(2) ヴィクトリア女王の横顔が肖像画として用いられている、1840年に発行され世界初の切手となった1ペニー切手は何でしょう？
(3) オパールなどの宝石で見られる、光を当てたときに虹のようなカラフルな色彩を呈する効果を何というでしょう？
(4) トレーディングカードで、特殊な能力を持たないシンプルなカードのことを俗に何というでしょう？
(5) EU・欧州連合の創設を定めた条約のことを定めた条約のことを、制定されたオランダ・リンブルフ州の都市の名前をとって何というでしょう？
特別問題B～数学～
p,qを正の実数とする。原点をOとする座標空間内の3点P(p,0,0),Q(0,q,0),R(0,0,1)は∠PRQ＝π/6を満たす。四面体OPQRの体積の最大値を求めよ。 [一橋大]
特別問題C～数学～
辺の長さがすべて整数である直角三角形の面積は、3で割り切れることを示せ。 [琉球大]
3054時間目模範解答
レベルⅠ
Ⅰ 雇う・・・やと(う)
意味
①：賃金を払って人を使う。
②：借りて使う。
Ⅱ 更かす・・・ふ(かす)
意味
①：夜遅くまで起きている。夜ふかし。
②：夜がふけるのを待つ。
Ⅲ 朗らか・・・ほが(らか)
意味
①：心にこだわりがなく、晴れ晴れとして明るいさま。
②：明るく光るさま。日差しが明るく、空が晴れ渡っているさま。
③：広く開けて明るいさま。
④：あいまいさがなく、はっきりしているさま。
レベルⅡ
Ⅰ 阿る・・・おもね(る)
意味：人の気に入るようにふるまう。
Ⅱ 佩く・・・は(く)
意味：刀・矢などを腰につける。身に帯びる。
Ⅲ 穡しむ・・・お(しむ)
意味：ものおしみする。ものおしみ。けち。
レベルⅢ
Ⅰ 鐫める・・・いまし(める)
意味：間違いをしないように前もって注意する。
Ⅱ 秼う・・・のろ(う)
意味：恨みや憎しみを抱いている人に災いが起こるように祈る。
Ⅲ 眡う・・・なぞら(う)
意味：類する。準ずる。
Ⅳ 獒・・・おおいぬ
猛犬の一種で、体が大きく猟犬となる。
特別問題A～雑学～
(1) ドルフィンキック
(2) ペニーブラック
(3) 遊色効果
(4) バニラ
(5) マーストリヒト条約
特別問題B～数学～
四面体OPQRの体積をVとして、V＝1/3・△OPQ・OR＝1/3・1/2・pq・1＝pq/6
一方、RP＝(p,0,－1)、RQ＝(0,q,－1)、RP・RQ＝|RP||RQ|cos∠PRQを用いて
1＝√(p2＋1)√(q2＋1)・√3/2、(p2＋1)(q2＋1)＝4/3、p2q2＋p2＋q2＝1/3・・・①
ここで、相加相乗平均の不等式を用いると、p2＋q2≧2√(p2q2)＝2pq
両辺にp2q2をたしてp2q2＋p2＋q2≧p2q2＋2pq
①を代入し1/3≧p2q2＋2pq、3(pq)2＋6(pq)－1≦0、pqについて解くと、0＜pq≦(－3＋2√3)/3
等号成立はp2＋q2かつpq＝－(3＋2√3)/3、すなわちp＝q＝√{(－3＋2√3)/3}のときで、V＝pq/6の最大値は(－3＋2√3)/3
特別問題C～数学～
直角をはさむ2辺の長さをa,bとし、斜辺の長さをcとすると、a2＋b2＝c2・・・①、但し、a,b,cは正の整数である。
(i) a,bともに奇数のとき;a＝2p＋1、b＝2q＋1(p,qは整数)とおける。
a2＋b2＝(2p＋1)2＋(2q＋1)2＝4(p2＋q2＋p＋q)＋2・・・②、また、cはc＝2dまたはc＝2d＋1(d：整数)とおける。
c2＝4d2、c2＝(2d＋1)2＝4(d2＋d)＋1となり、この2式はいずれも②と等しくならない。よって、a,bの少なくとも1つは偶数である。
(ii) a,bがともに3の倍数でないとき；a＝3k±1、b＝3l±1 (k,l：整数)とおける。
a2＋b2＝(3k±1)2＋(3l±1)2＝3(3k2＋3l2±2k±2l)＋2・・・③
また、cはc＝3r,3r±1(r：整数)とおける。これから c2＝3・3r2、c2＝(3r±1)2＝3(3r2±2r)＋1となり、この2式はいずれも③と等しくならない。
よって、a,bのうち少なくとも1つは3の倍数である。したがって、直角三角形の面積をSとすると、S＝ab/2
ここでa,bのうち少なくとも1つは偶数であり、少なくとも1つは3の倍数だから、abは6の倍数となり、Sは3の倍数である。
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