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3001時間目 ~総合問題~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 浮転

Ⅱ 煙宵

Ⅲ 四宇和平

Ⅳ 一朝の富貴

レベルⅡ

Ⅰ 歳晏

Ⅱ 棠舎

Ⅲ 肌膏

レベルⅢ

Ⅰ 蓼擂るよう

Ⅱ 狴犴

Ⅲ 禽獮

特別問題A~雑学~

次の設問に答えなさい。

(1) クヌギの木やクリの木などが使われる、シイタケ栽培において菌を植え付けるための木を何というでしょう?
(2) 錆びて切れ味が悪くなった刀のことを、ある魚の名前を用いて何というでしょう?
(3) イギリスの動物学者フィリップ・スクレーターがキツネザルの分布を裏付けるために提唱した、現在のインド洋にあったとされる仮想の大陸は何でしょう?
(4) 中世のヨーロッパで用いられた、相手の攻撃を流すため、利き手と逆の手で扱った短剣のことを、「左手」という意味のフランス語で何というでしょう?
(5) パソコンの用語で、直前の操作を取り消すことを「アンドゥ」といいますが、アンドゥによって取り消された操作をもう一度実行することを何というでしょう?

特別問題B~数学~

次の問いに答えよ。

(1) x≧0のとき、不等式x-x2/2≦log(1+x)≦xが成り立つことを示せ。
(2) 次の極限値$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum^n_{k=1}\log\left(1+\frac{k}{n^2}\right)$を求めよ。 
[大阪市立大]

特別問題C~数学~

空間内に点Pを重心とする2つの三角形ABC,DEFがある。このとき、次のことを示せ。

(1) PAPBPC=0
(2) ADBECF=0 [東京学芸大]


3001時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 浮転・・・ふてん
意味:水に浮かんであちこち移りまわる。
例:倒木が川の氾濫で浮転していた。

Ⅱ 煙宵・・・えんしょう
意味:かすみが一面にかかっている夜。

Ⅲ 四宇和平・・・しうわへい
意味:世の中が平和なこと。

Ⅳ 一朝の富貴・・・いっちょう(の)ふうき
意味:急に富貴な身分になること。

レベルⅡ

Ⅰ 歳晏・・・さいあん
意味:年が暮れる。また、老年になること。
例:貯金信者は歳晏するごとに貨幣価値が下がっていることを知らない。

Ⅱ 棠舎・・・とうしゃ
意味:善政をいう。
例:日本には棠舎を叶える政治家はいないだろう。

Ⅲ 肌膏・・・きこう
意味
①:体の肉とあぶら。
②:非常に苦労すること。
例:余分な肌膏を減らすのに肌膏している。

レベルⅢ

Ⅰ 蓼擂るよう・・・たです(るよう)
意味:せわしいさまの形容に言う。

Ⅱ 狴犴・・・へいかん
意味:伝説上の動物の名前。

Ⅲ 禽獮・・・きんせん
意味:捕らえて殺す。
例:竹島で韓国が漁師を禽獮したのは事実だ。

特別問題A~雑学~

(1) 榾木
(2) 赤鰯
(3) レムリア大陸
(4) マインゴーシュ
(5) リドゥ

特別問題B~数学~

(1) f(x)=x-log(1+x)(x≧0とおく。f'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)
x>0でf'(x)>0であるから、f(x)は単調増加で、f(0)=0であるからf(x)≧0 (x≧0)
よって、log(1+x)≦x (x≧0)
次に、g(x)=log(1+x)-x+x2/2とおく。
g(x)=1/(1+x)-1+x=x2/(1+x2)
x>0でg'(x)>0であるからg(x)は単調増加でg(0)=0であるからg(x)≧0 (x≧0)
よって、x-x2/2≦log(1+x) (x≧0)
以上より、x-x2/2≦log(1+x)≦xが成り立つ。 ■
(2) (1)の不等式でx=k/n2とおくと、k/n2-1/2・(k/n2)2≦log(1+k/n2)≦k/n2
k=1,2,…,nについて辺々加えると
$\displaystyle \frac{1}{n^2}\sum^n_{k=1}k-\frac{1}{n^4}\sum^n_{k=1}k^2≦\sum^n_{k=1}\log\left(1+\frac{k}{n^2}\right)≦\frac{1}{n^2}\sum^n_{k=1}k$
$\displaystyle \sum^n_{k=1}k=\frac{n(n+1)}{2}$、$\displaystyle \sum^n_{k=1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
であるから
(n+1)/2n-(n+1)(2n+1)/12n2≦$\displaystyle \sum^n_{k=1}\log\left(1+\frac{k}{n^2}\right)$≦(n+1)/2n
ここで、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}$、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)(2n+1)}{12n^3}=0$
であるから、はさみうちの原理より
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum^n_{k=1}\log\left(1+\frac{k}{n^2}\right)=\color{red}{\frac{1}{2}}$

特別問題C~数学~

(1) 空間内に点Oをとると、三角形ABCの重心Pの位置ベクトルOP
OP=1/3・(OAOBOC)であるから
PAPBPC=(OAOP)+(OBOP)+(OCOP)=(OAOBOC)-3OP=3OP-3OP=0・・・①
(2) 点Pは三角形DEFの重心でもあるから①と同様にPDPEPF=0・・・②
①、②よりADBECF=(PDPA)+(PEPB)+(PFPC)=(PDPEPF)-(PAPBPC)=0-0=0

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