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2967時間目 ~BASIC~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 回曲

Ⅱ 任符

Ⅲ 仇仇

Ⅳ 尽年

レベルⅡ

Ⅰ 尊憚

Ⅱ 峻法

Ⅲ 巣窩

レベルⅢ

Ⅰ 詒載

Ⅱ 羸僮

Ⅲ 粃蠹

特別問題A~雑学~

次の設問に答えなさい。

(1) 反響を呼ぶような問題を投げかけることを、水面に波紋をおこす行動になぞらえて何というでしょう?
(2) ロボロフスキー、ゴールデン、ジャンガリアンなどの品種がある、ペットとしてもおなじみのキヌゲネズミ科の動物は何でしょう?
(3) 長さが一尺八寸であることから名前がついた、日本古来の楽器は何でしょう?
(4) 5万分の1の地形図では100メートルごとに引かれている、等高線のうち実線で表記されるものを何というでしょう?
(5) 欧米の視力検査でよく用いられる、複数のアルファベットを並べた指標のことを何というでしょう?

特別問題B~数学~

次の設問に答えなさい。

(1) x>0に対し、√xlogx>-1であることを示しなさい。但し、自然対数の底eの値は2.718…である。
(2) (1)の結果を用いて$\displaystyle\lim_{x\to+0}x\log x=0$を示しなさい。 
[慶応大]

特別問題C~数学~

0でない実数a,b,cは次の(i)と(ii)を満たしながら動くものとする。
(i) 1+c2≦2a
(ii) 2つの放物線C1:y=ax2とC2:y=b(x-1)2+cは接している。
但し、2つの曲線が接するとは、ある共有点において共通の接線をもつことであり、その共有点を接点という。

(1) C1とC2の接点の座標をaとcを用いて表せ。
(2) C1とC2の接点が動く範囲を求め、その範囲を図示せよ。 
[京都大]


2967時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 回曲・・・かいきょく
意味:よこしまでねじけている。邪悪。
例:回曲な政治家によってその国家は廃れた。

Ⅱ 任符・・・にんぷ
意味:任地におもむくための辞令。

Ⅲ 仇仇・・・きゅうきゅう
意味:おごり高ぶること。おごるさま。
例:NHKは仇仇として国民から金を簒奪している。

Ⅳ 尽年・・・じんねん
意味:年寿をつくす。天寿を全うして死ぬこと。
例:化学の世界で功績をあげて尽年する。

レベルⅡ

Ⅰ 尊憚・・・そんたん
意味:たっとびはばかる。
例:そこまで尊憚せずに堂々と話してください。

Ⅱ 峻法・・・しゅんぽう
意味:厳しいおきて。また、法律を厳しくする。
例:峻法にみんなが苦しむ。

Ⅲ 巣窩・・・そうか
意味:はか。墳墓。

レベルⅢ

Ⅰ 詒載・・・いさい
意味:あざむいて(車などに)乗せること。
例:某宗教は詒載して無理やり勧誘させる暴力集団である。

Ⅱ 羸僮・・・るいどう
意味:やせたこども。
例:羸僮の写真を見せるだけの謎な団体。

Ⅲ 粃蠹・・・ひと
意味:しいなときくいむし。転じて、悪いものと害をなすもののたとえ。
例:二度と粃蠹な政権に戻す勿れ。

特別問題A~雑学~

(1) 一石を投じる
(2) ハムスター
(3) 尺八
(4) 計曲線
(5) スネレン指標

特別問題B~数学~

(1) √xlogx>-1を移項して√xlogx+1>0
f(x)=√xlogx+1 (x>0)とおくと、f'(x)=logx/2√x+√x・1/x=(logx+2)/2√x
となるから、f(x)の増減表は次のようになる。
$
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|} \hline
   x & 0 & \cdots & \cfrac{1}{e^2} & \cdots   \\ \hline
   f'(x) &  & - &  & +   \\ \hline
   f(x) &  & \searrow &  & \nearrow   \\ \hline
\end{array}
$
したがって、e=2.718…>2であることから、f(x)=f(1/e2)=1/e・log(1/e2)+1=1-2/e>0
となり、f(x)>0 (x>0)が得られる。よってx>0に対し√xlogx>-1である。 ■
(2) x>0のとき√xlogx>-1の辺ごとに√x(x>0)を掛けるとxlogx>-√xとなる。
また、x>logxが成り立つから、辺ごとにx(>0)を掛けるとx^2>xlogxとなる。
合わせて-√x<xlogx<x2・・・①を得る。x→+0とすると、①の右辺と左辺は0に収束するからはさみうちの原理より
$\displaystyle\lim_{x\to+0}x\log x=0$ ■

特別問題C~数学~

(1) C1とC2を連立して、ax2=b(x-1)2+c、(a-b)x2+2bx-(b+c)=0・・・①
これが重解を持つので、a-b≠0であり、判別式をDとすると
D/4=b2+(a-b)(b+x)=ab+ac-bc=ac-b(c-a)であり、D=0だからac=b(c-a)である。
左辺は0でないからc≠aであり、b=ac/(c-a)・・・②である。
①の重解はx=-b/(a-b)=b/(b-a)となる。②に代入すると
$x=\cfrac{\cfrac{ac}{c-a}}{\cfrac{ac}{c-a}-a}=\cfrac{ac}{ac-ac+a^2}=\cfrac{ac}{a^2}=\cfrac{c}{a}$
である。接点のx座標はx=c/a、y座標はy=a・(c/a)2=c2/aであり、接点の座標は(c/a,c2/a)である。
(2) C1とC2の接点を(X,Y)とすると、X=c/a、Y=c2/a・・・③
c≠0であるからX≠0、Y≠0である。③からa,cについて解くと、2式からcを消去してa=Y/X2を得る。
c=aX=Y/Xとなるからa=Y/X2、c=1/X・・・④となる。これで定まるa,cが1+c2≦2aかつa≠cを満たすことが必要十分条件である。
④を1+c2≦2aに代入し1+(Y/X)2≦2・Y/X2、X2+Y2≦2Yとなる。
次に④にa≠cを代入し、Y/X2≠Y/X、よってX≠1となる。
C1とC2の接線が動く範囲はx2+(y-1)2≦1、x≠0、x≠1、y≠0となり、のようになる。但し、y軸および点(0,0),(1,1),(2,0)を除く。

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