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2966時間目 ~総合問題~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 上州飲み助

Ⅱ 上援下推

Ⅲ 汗血馬

Ⅳ 群児

レベルⅡ

Ⅰ 逆豎

Ⅱ 質訥

Ⅲ 抉摘

レベルⅢ

Ⅰ 呉市吹簫

Ⅱ 梨糕

Ⅲ 煇映

特別問題A~雑学~

次の設問に答えなさい。

(1) テニスラケットやゴルフクラブで、ボールを最も効果的に打つことができる場所のことを何というでしょう?
(2) 島の西側をハイチが、東側をドミニカ共和国が占有している、カリブ海に浮かぶ島は何でしょう?
(3) 全天88星座のうち、名前がかな1文字で表されるのは、や座、ほ座と何でしょう?
(4) 仏教書『立正安国論』を著したのは日蓮ですが、『立正治国論』を著した室町時代の僧侶は誰でしょう?
(5) スキューバダイビングを行うとき、互いの安全を確保するために組むパートナーのことを何というでしょう?

特別問題B~数学~

aを正の実数とし、関数y=x2+aのグラフをCとする。C上の点PにおいてCに接線lを引き、lとy=x2のグラフの交点をQ,Rとする。Qのx座標をα、Rのx座標をβとするとき、|α-β|はPの取り方によらないことを証明せよ。 [学習院大]

特別問題C~数学~

3辺の長さがa,b,cである三角形の面積をSとする。

(1) 次の等式を証明せよ。
$4S=\sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)}$
(2) a2+b2+c2=4√3Sであるとき、a4+b4+c4=a2b2+b2c2+c2a2となることを証明せよ。
(3) a2+b2+c2=4√3Sであることは、この三角形が正三角形になるための必要十分条件であることを証明せよ。 
[信州大]


2966時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 上州飲み助・・・じょうしゅうの(み)すけ
意味:上州には酒豪が多いことのたとえ。

Ⅱ 上援下推・・・じょうえんかすい
意味:上の者から引き立てられ、下の者から推挙されること。

Ⅲ 汗血馬・・・かんけつば
意味
①:名馬をいう。
②:転じて、非凡な才能のある人のたとえ。

Ⅳ 群児・・・ぐんじ
意味:多くの子供。

レベルⅡ

Ⅰ 逆豎・・・ぎゃくじゅ
意味:道に逆らう悪人。人をさげすみののしって言う。

Ⅱ 質訥・・・しっとつ
意味:飾り気がなくて、口が重い。まじめで、無口。
例:彼は質訥であるがゆえにおとなしそうに見える。

Ⅲ 抉摘・・・けってき
意味:えぐり出す。隠れているものをあばき出す。
例:木乃伊にするとき、臓器を抉摘してカノプス壺に入れるという。

レベルⅢ

Ⅰ 呉市吹簫・・・ごしすいしょう
意味:すぐれた人物が一時的に困窮し、乞食をするたとえ。

Ⅱ 梨糕・・・りこう
意味:梨の実と砂糖で作った菓子。

Ⅲ 煇映・・・きえい
意味:輝き映ること
例:池に月が煇映する。

特別問題A~雑学~

(1) スイートスポット
(2) イスパニョーラ島
(3) ろ座
(4) 日親
(5) バディ

特別問題B~数学~

C:y=x2+a、y'=2x、P(p,p2+a)とおくと、Cの点Pにおける接線lの方程式は、l:y-(p2+a)=2p(x-p) ∴y=2px-p2+a
これとy=x2を連立する。yを消去して、x2=2px-p2+a、x2-2px+p2-a=0
a>0だから、この2次方程式は異なる2解x=p±√aをもち、これらがそれぞれαとβのいずれかになる。したがって
|α-β|=|p+√a-(p-√a)|=2√aとなり、|α-β|の値はPの取り方によらず一定値2√aをとる。 ■

特別問題C~数学~

(1) S=1/2・abcinC=1/2・ab√(1-cos2C)=1/2ab√{1-((a2+b2-c2)/2ab)2}
∴$4S=\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2+c^2)^2}$
$=\sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)}$ ■
(2) a2+b2+c2=4√3Sであるとき、(1)から
a2+b2+c2=√3・√{2(a2b2+b2c2+c2a2)-(a4+b4+c4)}
(a2+b2+c2)2=3{2(a2b2+b2c2+c2a2)-(a4+b4+c4)}
a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+c2a2)=6(a2b2+b2c2+c2a2)-3(a4+b4+c4)
∴a4+b4+c4=a2b2+b2c2+c2a2 ■
(3) (2)からa2+b2+c2=4√3S、a4+b4+c4=a2b2+b2c2+c2a2
(a2-b2)2+(b2-c2)2+(c2-a2)2=0⇔a2=b2=c2 ∴a=b=c
よって、a2+b2+c2=4√3Sであることは、この三角形が正三角形であることの必要十分条件である。 ■

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