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2940時間目 ~ADVANCED~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 舜日尭年

Ⅱ 彧彧

Ⅲ 彤管の貽

レベルⅡ

Ⅰ 白布聖

Ⅱ 海鏡

Ⅲ 黄瑞香

レベルⅢ

Ⅰ 竜眼木

Ⅱ 赤楊

Ⅲ 刺櫻

FINAL

地蜈蚣

特別問題A~数学~

0<a<1とする。球面x2+y2+z2=1で囲まれる3部分のうちx≧0である部分をBとする。x=aで切り、その体積を2等分する。次の問いに答えよ。

(1) aの満たす3次方程式を求めよ。
(2) a=2cosθ(π/3<θ<π/2)とおく。このθについてcos3θの値を求めよ。
(3) θの値を求めよ。 
[東京都市大]

特別問題B~数学~

楕円C:x2/a2+y2=1 (a>1)上に点A(a,0)をとる。C上の点B(p,q)(q>0)における接線lと線分BAのなす角が、lと直線x=pのなす角に等しいとする。但し、2直線のなす角は鋭角の方をとるとする。

(1) 座標pをaで表せ。
(2) 極限値$\displaystyle \lim_{a\to1}p$および$\displaystyle \lim_{a\to\infty}\frac{p}{a}$を求めよ。 
[東京工大]


2940時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 舜日尭年・・・しゅんじつぎょうねん
意味:天下泰平で盛んな世の中。

Ⅱ 彧彧・・・いくいく
意味
①:草などが茂って美しいさま。
②:模様をなして美しいさま。

Ⅲ 彤管の貽・・・たんかん(の)おくりもの
意味:男女が物を贈り合って交際を結ぶことを言う。

レベルⅡ

Ⅰ 白布聖・・・ペプシン
胃液中にある酵素の一つ。

Ⅱ 海鏡・・・つきひがい[]
ツキヒガイ科の二枚貝。

Ⅲ 黄瑞香・・・みつまた[]
ジンチョウゲ科の落葉高木。

レベルⅢ

Ⅰ 竜眼木・・・さかき[]
ツバキ科の常緑高木。

Ⅱ 赤楊・・・はんのき[]
カバノキ科の落葉高木。

Ⅲ 刺櫻・・・はりぎり[]
ウコギ科の落葉高木。

FINAL

地蜈蚣・・・トレニア[]
ゴマノハグサ科の一年草。

特別問題A~数学~

(1) Bは半径1の半球であり、その体積は4/3π・1/2=π/2である。
平面x=aはこの体積を2等分するから、1つあたりの体積はπ/3である。
Bを平面x=aで切った時にできる立体の一つはの斜線部をx軸の周りに1回転してできる立体である。これがπ/3より
$\int^1_\alpha \pi(1-x^2)dx=\cfrac{\pi}{3}$

$\int^1_\alpha(1-x^2)dx=\cfrac{1}{3}$

$[x-\frac{1}{3}x^3]^1_\alpha=\cfrac{1}{3}$
2/3-a+a3/3=1/3 ∴a3-3a+1=0・・・①
(2) ①にa=2cosθを代入して、8cos^3θ-6cosθ+1=0⇔2(4cos^3θ-3cosθ)+1=0
2cos3θ=1 ∴cos3θ=-1/2
(3) π/2<θ<π/3よりπ<3θ<3π/2より3θ=4π/3 ∴
θ=4π/9

特別問題B~数学~

(1) Bが第1象限にあると、BAはlとx=pとのなす鋭角内にあるので不適。そこでp=acosθ(<0),q=sinθとおくと
BA=(a(1-cosθ),-sinθ)、また、直線lとx=pの方向ベクトルをそれぞれ
l=(asinθ,-cosθ)、m=(0,|BA|)とする。このとき(BAm)∥lだから
(a(1-cosθ),-sinθ+|BA|)∥(asinθ,-cosθ)
∴asinθ(-sinθ+|BA|)=-asinθ(1-sinθ)
両辺をaで割って整理すると、|BA|sinθ=1-cosθ
両辺を平方して1-cosθで割り、|BA|2=a2(1-cosθ)2+sin2θを代入して整理すると
(a2-1)cos2θ-2cosθ-a2=0
∴$\cos\theta=\cfrac{1-\sqrt{a^4-a^2+1}}{a^2-1}$ (∵cosθ<0)
よって$p=a\cos\theta=\color{red}{\cfrac{a(1-\sqrt{a^4-a^2+1})}{a^2-1}}$
(2) $\displaystyle \lim_{a\to1}p=\lim_{a\to1}\frac{-a^3(a^2-1)}{(a^2-1)(1+\sqrt{a^4-a^2+1})}$

$=\color{yellow}{-\cfrac{1}{2}}$

$\displaystyle \lim_{a\to\infty}\frac{p}{a}=\lim_{a\to\infty}\frac{\frac{1}{a^2}-\sqrt{1-\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^4}}}{1-\frac{1}{a^2}}$

$=\color{yellow}{-1}$

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