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2937時間目 ~諺・四字熟語~

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 春水四沢に満つ

Ⅱ 大謀は謀らず

Ⅲ 雁も鳩も一口

Ⅳ 一念の毒蛇

Ⅴ 大柄を捌く

Ⅵ 四荒八極

Ⅶ 歯牙余論

Ⅷ 一水盈盈

Ⅸ 轅下の駒

Ⅹ 認奴作郎

特別問題A~数学~

aを実数とする。複素数平面において3次方程式z3-az+2a-8=0の3つの解を頂点とする三角形の面積は6である。このとき、aの値とこのときの3次方程式の3つの解を求めよ。 [東京女子大]

特別問題B~数学~

yz平面の直線y=zをl1、直線y=z+√2をl2とする。xyz空間においてl1を軸にしてl2を回転してできる円柱面(内部は含まない)をCとする。さらに、z軸を軸としてCを回転してできる回転体をRとする。

(1) xy平面でCを切った切り口に現れる楕円の方程式を求めよ。
(2) Rのyz平面による断面を図示せよ。
(3) Rの-2≦z≦2の部分の体積を求めよ。 
[東京工大]


2937時間目模範解答

Ⅰ 春水四沢に満つ・・・しゅんすいしたく(に)み(つ)
意味:春になるといずこの沢も水いっぱいになる。

Ⅱ 大謀は謀らず・・・たいぼう(は)はか(らず)
意味:大きな謀は小細工を弄しない。

Ⅲ 雁も鳩も一口・・・がん(も)はと(も)ひとくち
意味:なんでも丸のみに飲み込むこと。

Ⅳ 一念の毒蛇・・・いちねん(の)どくじゃ
意味:恨みの執念が凝り固まってなった毒蛇。

Ⅴ 大柄を捌く・・・おおへい(を)さば(く)
意味:尊大に振る舞う。いばって無礼な態度をとる。

Ⅵ 四荒八極・・・しこうはっきょく
意味:世界の隅々まで。世界のあらゆる場所のこと。

Ⅶ 歯牙余論・・・しがよろん
意味:わずかな言葉。また、わずかな誉め言葉。

Ⅷ 一水盈盈・・・いっすいえいえい
意味:愛する人に会うことのできない苦しみのたとえ。

Ⅸ 轅下の駒・・・えんか(の)こま
意味:無理なことを強いられて苦しむこと。

Ⅹ 認奴作郎・・・にんどさくろう
意味:価値の高低を識別できないことのたとえ。

特別問題A~数学~

z3-az+2a-8=0⇔(z-2)(z2+2z+4-a)=0、z=2、-1±√(a-3)
3解すべてが実数であれば三角形にはならないのでa-3<0であり、解はz=2、-1±√(3-a)iである。
A(2),B(-1+√(3-a)i),C(-1-√(3-a)i)とすると、△ABCの面積は2√(3-a)・(2+1)・1/2=6⇔√(3-a)=2
a=-1 3つの解は 
2,-1+2i,-1-2i

特別問題B~数学~

(1) C上の点P(x,y,z)からl1に下ろした垂線の足をHとする。
l1=1/√2(0,1,1)とおくと、OH=(OPl1)l1=(y+z)/2(0,1,1)
HPOPOH=(x,(y-z)/2,(-y+z)/2) |HP|=1からx2+(y-z)2/2=1・・・①
①でz=0として得られるものが楕円の方程式である。
したがって、x2+y2/2=1
(2) yz平面でCを切った時の切り口は、①よりy-z=±√2
また、①でz=k(≧0)とすると、x2+(y-k)2/2=1・・・③
楕円③上の点(x,y)に対してx2+y2=1-(y-k)2/2+y2=(y+k)2/2-k2+1
したがって、k-√2≦y≦k+√2に注意すると
0≦k≦√2のとき
min(x2+y2)=・-k2+1(0≦k≦1/√2)
・(k-√2)2 (1/√2≦k≦√2)
よって、Rの平面z=k (0≦k≦√2)による切り口は
0≦k≦1/√2のとき;-k2+1≦x2+y2≦(k+√2)2
1/√2≦k≦√2のとき;(k-√2)2≦x2+y2≦(k+√2)2となる。
よって、②と対称性とから、Rのyz平面による断面はの赤色部となる。
(3) 求める体積をVとすると、(2)の考察より
$\cfrac{V}{2}=\pi\int^2_0(z+\sqrt2)^2dz-\pi\int^{\frac{1}{\sqrt2}}_0(1-z^2)dz-\int^2_{\frac{1}{\sqrt2}}(z-\sqrt2)^2dz$

$=\cfrac{49\sqrt2}{6}\pi$

$∴V=\color{red}{\cfrac{49\sqrt2}{3}\pi}$

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