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2929時間目 ~諺・四字熟語~

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 盗んだ水は甘い

Ⅱ 児戯に等しい

Ⅲ 四月に雪降れば百姓やめて奉公せよ

Ⅳ 言葉を濁す

Ⅴ 肩入れの悋気

Ⅵ 厚徳載福

Ⅶ 寡頭政治

Ⅷ 帷蓋不棄

Ⅸ 深溝高塁

Ⅹ 奔車朽索

特別問題A~数学~

次の設問に答えなさい。

(1) 関数y=exのグラフのx=aにおける接線laの方程式を求めよ。
(2) 関数y=exのグラフと接線laと2直線x=0、x=2とで囲まれた図形の面積S(a)を求めよ。
(3) S(a)を最小にするaの値と、そのときのS(a)の値を求めよ。 
[津田塾大]

特別問題B~数学~

四面体ABCDはAC=BD、AD=BCを満たすとし、辺ABの中点をP、辺CDの中点をQとする。

(1) 辺ABと線分PQは垂直であることを示せ。
(2) 線分PQを含む平面αで四面体ABCDを切って2つの部分に分ける。このとき、2つの部分の体積は等しいことを示せ。 
[京都大]


2929時間目模範解答

Ⅰ 盗んだ水は甘い・・・ぬす(んだ)みず(は)あま(い)
意味:盗み飲み、盗み食いの格別のうまさを言う。

Ⅱ 児戯に等しい・・・じぎ(に)ひと(しい)
意味:あさはかでとるにたらないことにいう。

Ⅲ 四月に雪降れば百姓やめて奉公せよ・・・しがつ(に)ゆきふ(れば)ひゃくしょう(やめて)ほうこう)せよ)
意味:四月に雪が降るのは凶作の前兆であることを言う。

Ⅳ 言葉を濁す・・・ことば(を)にご(す)
意味:都合が悪いことなどをあいまいに言うこと。

Ⅴ 肩入れの悋気・・・かたい(れの)りんき
意味:都合が悪いことなどをあいまいに言うこと。

Ⅵ 厚徳載福・・・こうとくさいふく
意味:徳の厚い人は幸福を身に受ける、また、受けることができること。

Ⅶ 寡頭政治・・・かとうせいじ
意味:少数のものが権力を握って行う独裁的な政治。

Ⅷ 帷蓋不棄・・・いがいふき
意味:ボロボロになった物でも。使い道があるため棄てるのを惜しむこと。

Ⅸ 深溝高塁・・・しんこうこうるい
意味:堅固な城塞・とりでのこと。また、守りの固いこと。

Ⅹ 奔車朽索・・・ほんしゃきゅうさく
意味:極めて危険な状態のたとえ。

特別問題A~数学~

(1) y=exのときy'=ex、接線laの方程式はy=ea(x-a)+ea
よって、y=eax+(1-a)ea
(2) y=exのグラフは下に凸だから、laの上方にある。よって求める面積S(a)は
$S(a)=\int^2_0\{e^x-e^ax-(1-a)e^a\}dx$

$=[e^x-\cfrac{e^a}{2}x^2-(1-a)e^ax]^2_0$

$=\color{yellow}{2(a-2)e^a+e^2-1}$
(3) S'(a)=2ea+2(a-2)ea=2(a-1)ea したがって、S(a)の増減表は
$
\begin{array}{|c||c|c|c|} \hline
   a & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline
   S'(a) & - & 0 & + \\ \hline
   S(a) & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \hline
\end{array}
$
となる。
したがって、S(a)はa=1のとき最小となり、最小値は
S(1)=e2-2e-1

特別問題B~数学~

(1) ABbACcADdとする。AC=BDより|c|2=|db|2、|c|2=|d|2-2bd+|b|2・・・①
AD=BCより|d|2=|cb|2、|d|2=|c|2-2bc+|b|2・・・②
ここでPQAQAP=(ad)/2-b/2であるから、ABと内積を計算すると
ABPQb・1/2・(cdb)=1/2・(bcbd-|b|2)・・・③ となる
①、②を辺ごとに加えて|c|2,|d|2を消去すると
0=-2bd-2bc+2|b|2bcbd-|b|2=0となるから③よりABPQ=0となり、辺ABと線分PQは垂直となる。
(2) (1)と同様にして、辺CDと線分PQは垂直である。よって、PQを軸として四面体を180°回転させると、回転する前の四面体と一致する。
PQを軸として平面αを180°回転させるとやはり回転前のαと一致する。
したがって、四面体ABCDを平面αで切って2つの部分に分けたとき、一方の部分をPQを軸として180°回転させると他方の部分と一致するから、これら2つの部分の体積は等しい。

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