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2861時間目 ~BASIC~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 甘沢

Ⅱ 回頭

Ⅲ 尽索

Ⅳ 倫列

レベルⅡ

Ⅰ 虚謗

Ⅱ 躁心

Ⅲ 納諫

レベルⅢ

Ⅰ 蘧蘧然

Ⅱ 糴者

Ⅲ 糧稸

特別問題A~数学~

円C:x2+y2+(k-2)x-ky+2k-16=0は、定数kの値によらず、2点A,Bを通る。A,Bの座標をそれぞれ求めよ。但し、Aのx座標よりBのx座標が大きいものとする。また、線分ABが円Cの直径となるようなkの値を求めよ。

特別問題B~数学~

nとkを自然数とし、整式xnを整式(x-k)(x-k-1)で割った余りをax+bとする。

(1) aとbは整数であることを示せ。
(2) aとbをともに割り切れる素数は存在しないことを示せ。 
[京都大]


2861時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 甘沢・・・かんたく
意味:日照り続きのときなどに降る雨。時を得て降る雨。
例:かんかん照りの夏、ダムの水が欠乏している時に甘沢が降り注いだ。

Ⅱ 回頭・・かいとう
意味:こうべをめぐらす。振り返る。
例:後ろから声が聞こえたので回頭したが誰もいなかった。

Ⅲ 尽索・・・じんさく
意味:つきること。
例:ついに作戦の案が尽索した。

Ⅳ 倫列・・・りんれつ
意味:順序を立てて並べる。
例:今まで起こったことについて倫列する。

レベルⅡ

Ⅰ 虚謗・・・きょぼう
意味:根拠のないそしり。
例:あれがヘイトスピーチならば虚謗もヘイトスピーチである。

Ⅱ 躁心・・・そうしん
意味:心がせわしいこと。いらだつ心。イライラする心。
例:躁心すればするほど損をする。

Ⅲ 納諫・・・のうかん
意味:いさめを聞き入れる。諫言を採用する。
例:誰も納諫する政治家がいないんだからどうしようもない。

レベルⅢ

Ⅰ 蘧蘧然・・・きょきょぜん
意味:おどろくさま。びっくりするさま。また、形のあるさま。
例:彼は蘧蘧然として回頭して言った。

Ⅱ 糴者・・・てきしゃ
意味:米を城内に入れる者。
例:まずは糴者を討って兵糧攻めを行った。

Ⅲ 糧稸・・・りょうきく
意味:食糧のたくわえ。糧貯。
例:台風の前に糧稸をするのは重要である。

特別問題A~数学~

x2+y2+(k-2)x-ky+2k-16=0をkについて整理して
(x2+y2-2x-16)+k(x-y-2)=0・・・① 方程式①はx2+y2-2x-16=0・・・②、x-y+2=0・・・③のとき、kの値にかかわらず成り立つ。
連立方程式②、③をとくと③よりy=x+2・・・④
②に代入してx2+(x+2)2-2x-16=0、2(x-2)(x+3)=0よりx=-3,2
よってA,Bの座標はA(-3,-1)、B(2,4)
次に、円Cの方程式を変形すると(x+(k-2)/2)2+(y-k/2)2=k2/2-3k+17より、中心は(-(k-2)/2,k/2)であり、これと線分ABの中点(-1/2,3/2)が一致することから、
k=3

特別問題B~数学~

(1) xnを(x-k)(x-k-1)で割った商をQ(x)とおくと
xn=(x-k)(x-k-1)Q(x)+ax+b・・・①、①でx=k、k+1とおくとkn=ak+b・・・②、(k+1)n=a(k+1)+1・・・③
②、③をa,bについて解くとa=(k+1)n-kn、b=kn-k(k+1)n+kn+1
nとkは自然数であるから、aとbは整数である。
(2) aとbをともに割り切る素数pが存在すると仮定すると、a=Ap、b=Bp(A,Bは整数)と表せる。
このとき②、③はそれぞれkn=Apk+Bp=p(Ak+B)・・・④、(k+1)n=Ap(k+1)+Bp=p{A(k+1)+B}・・・⑤
④からknは素数のpの倍数だから、kはpの倍数である。同様にして⑤からk+1もpの倍数である。
したがって、M,NをM<Nを満たす整数としてk=Mp、k+1=Npと表せるが、辺々を引いて
(k+1)-k=Np-Mp、すなわち(N-M)p=1、これよりpは1の約数となるが、これはpが素数であることに反し不合理。
したがって、a,bをともに割り切るような素数pは存在しない。

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2862時間目 ~総合問題~

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