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2858時間目 ~総合問題~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 次骨

Ⅱ 正否

Ⅲ 虹泉

Ⅳ 小弁は義を害す

レベルⅡ

Ⅰ 気沮

Ⅱ 瑶朶

Ⅲ 旧窩

レベルⅢ

Ⅰ 崇論閎議

Ⅱ 逋播の臣

Ⅲ 逌爾

特別問題A~数学~

円x2+y2+4x+2√2y+3=0について、次の問いに答えよ。

(1) この円の中心と半径をそれぞれ求めよ。
(2) この円上の点(x,y)において、x+yのとる値の最大値と最小値を求めよ。
(3) この円上の点で、座標がともに有理数となる点をすべて求めよ。 
[高知大]

特別問題B~数学~

定積分$\int^1_{-1}(\sin\pi x-ax-b)^2dx$を最小にする実数a,bを求めよ。 [一橋大]


2858時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 次骨・・・じこつ
意味:程度の深刻なこと。
例:次骨な大事故が発生した。

Ⅱ 正否・・・せいひ
意味
①:正しいことと不正なこと。
②:不正をただす。
例:今までの政治の悪態を正否する。

Ⅲ 虹泉・・・こうせん
意味:滝。瀑布。

Ⅳ 小弁は義を害す・・・しょうべん(は)ぎ(を)がい(す)
意味:くだらない弁舌は義理を害する。

レベルⅡ

Ⅰ 気沮・・・きそ
意味:気後れすること。また、勢いのひるみよどむこと。
例:ぶん殴った瞬間相手は一瞬気沮した。

Ⅱ 瑶朶・・・ようだ
意味:菊の花を言う。

Ⅲ 旧窩・・・きゅうか、きゅうわ
意味:ふるさと。また、元の家。
例:GWは旧窩に帰郷した。

レベルⅢ

Ⅰ 崇論閎議・・・すうろんこうぎ
意味:見識高く、広く議論すること。また、その議論。

Ⅱ 逋播の臣・・・ほはん(の)しん
意味:逃亡して各地をさまよう臣。

Ⅲ 逌爾・・・ゆうじ
意味:顔色の穏やかな様子。笑う様子。
例:彼は逌爾して子供をなだめた。

特別問題A~数学~

(1) 式変形により、(x+2)2+(y+√2)2=3
よって中心(-2,-√2)、半径√3の円
(2) x+y=aとおくと、y=a-x。これをx2+y2+4x+2√2y+3=0に代入すると、2x2+2(2-√2-a)x+a2+2√2a+3=0
aが最大、最小となるのはのように円と直線y=a-xが接することであるからD/4=0、すなわち(2-√2-a)-2(a2+2√2a+3)=0
これを整理して解くとa=-2-√2±√6
よってx+y=aの最大値a=-2-√2+√6最小値a=-2-√2-6
(3) x2+y2+4x+2√2y+3=0より(x2+y2+4x+3)+2√2y=0
x,yが有理数のとき、第1項は有理数、第2項は無理数。
よって、x2+y2+4x+3=0かつy=0 これを解くとx=-1,-3
よって求める円上の点は
(-1,0),(-3,0)

特別問題B~数学~

$\int^1_{-1}(\sin\pi x-ax-b)^2dx$

$=\int^1_{-1}(\sin^2\pi x+a^2x^2+b^2-2ax\sin\pi x+2abx^2b\sin\pi x)dx$

$=2\int^1_0(\sin^2\pi x+ax^2+b^2-2ax\sin\pi x)dx$
ここで、
$\int^1_0\sin^2\pi xdx=\int^1_0\frac{1-\cos2\pi x}{2}dx=[\frac{x}{2}-\frac{\sin2\pi x}{4\pi}]^1_0=\frac{1}{2}$

$\int^1_0(a^2x^2+b^2)dx=[\frac{a^2}{3}x^3+b^2x]^1_0=\frac{a^3}{3}+b^2$

$\int^1_0x\sin\pi xdx=\int^1_0x(-\frac{1}{\pi}\cos\pi x)'dx$

$=[x(-\frac{1}{\pi}\cos\pi x)]^1_0-\int^1_0(-\frac{1}{\pi}\cos\pi x)dx$

$=\frac{1}{\pi}+[\frac{1}{\pi^2}\sin\pi x]^1_0=\frac{1}{\pi}$であるから

$\int^1_{-1}(\sin\pi x-ax-b)^2dx$

$=2(\frac{1}{2}+\frac{a^2}{3}+b^2-2a\cdot\frac{1}{\pi})$

$=\frac{2}{3}a^2-\frac{4}{\pi}a+2b^2+1$

$=\frac{2}{3}(a-\frac{3}{\pi})^2+2b^2+1-\frac{6}{\pi^2}$
よって式を最小にするa,bは
a=3/π、b=0

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