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2853時間目 ~諺・四字熟語~

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 道傍の苦李

Ⅱ 骸骨を乞う

Ⅲ 糟を食う

Ⅳ 堅白を以て鳴る

Ⅴ 鼬の道を切る

Ⅵ 清光素色

Ⅶ 成性存存

Ⅷ 翻邪帰正

Ⅸ 連璧賁臨

Ⅹ 無始曠劫

特別問題A~数学~

a,bを実数として、座標空間内に4点A(3,1,3),B(2,3,2),C(3,3,1),D(2,a,b)がある。但し、BとDは異なる2点とする。3点A,B,Cを通る平面をTとし、T上にあって3点A,B,Cを通る円をUとする。次の各問いに答えよ。

(1) 点Dが平面T上にあるとき、a,bの条件を求めて、ab平面上に図示せよ。
(2) 点Dが円Uの周上にあるとき、点Dの座標を求めよ。 
[茨城大]

特別問題B~数学~

xの整式F(x)はxおよびx-1で割り切れ、商をそれぞれP(x),Q(x)とすると、P(0)=-4、Q(1)=2を満たしている。このようなF(x)のうち次数が最小のものをf(x)とする。また、曲線y=f(x)をCとする。

(1) f(x)を求めよ。
(2) C上の点(r,f(r))におけるCの接線の傾きとy切片をそれぞれrの整式で表せ。
(3) 点(s,t)を通るCの接点がちょうど2本存在するとき、s,tの満たす条件を求めよ。 
[慶応大]


2853時間目模範解答

Ⅰ 道傍の苦李・・・どうほう(の)くり
意味:人に見捨てられること。誰にも顧みられないことのたとえ。

Ⅱ 骸骨を乞う・・・がいこつ(を)こ(う)
意味:官を退くことを請う。辞職を願い出る。

Ⅲ 糟を食う・・・かす(を)く(う)
意味:叱られる。小言を言われる。ひどい批判を受ける。

Ⅳ 堅白を以て鳴る・・・けんぱく(を)もっ(て)な(る)
意味:くだらない議論をもって世の中をさわがせること。

Ⅴ 鼬の道を切る・・・いたち(の)みち(を)き(る)
意味:人が来なくなる。また、便りが途絶えるたとえ。

Ⅵ 清光素色・・・せいこうそしょく
意味:清らかな月の白い光のこと。

Ⅶ 成性存存・・・せいせいそんそん
意味:天から与えらえた本性を大切に保存し、生命を全うすること。

Ⅷ 翻邪帰正・・・ほんじゃきせい
意味:よこしまな思いを改めて、正しい道に立ち帰ること。

Ⅸ 連璧賁臨・・・れんぺきひりん
意味:二人の客人が同時に訪れること。

Ⅹ 無始曠劫・・・むしこうごう
意味:いつ始まったかもわからないほど、遠い昔のこと。

特別問題A~数学~

(1) 題意より、BA=(1,-2,1)、BC=(-1,0,1)、点Dが3点A,B,Cの定める平面T上にあるとき、実数s,tを用いて
ODOB+sBA+tBC、(2,a,b)=(2,3,2)+s(1,-2,1)+t(1,0,-1)
∴s+t=0、-2s+3=a、s-t+2=0 これよりs,tを消去してa,bの関係を求めるとa+b=5、(a,b)≠(3,2)・・・①
これをab平面上に図示するとのようになる。
(2) BABC=1・1+(-2)・0+1・(-1)=0 ∴∠ABC=90°
だから、3点A,B,Cを通る円Uの中心は線分ACの中点となり、これをPとすると、P(3,2,2)
①から、D(2,a,5-a)であり、PD=1/2・ACから√(12+(a-2)2+(3-a)2)=1/2・√(02+22+22)
両辺を平方してa2-5a+6=0、a=2,3 ①よりa=2、b=3
D(2,2,3)

特別問題B~数学~

(1) F(x)をx(x-1)で割ったときの商をR(x)とすると、F(x)=x(x-1)R(x)であり、P(x)=(x-1)R(x)・・・①、Q(x)=xR(x)・・・②が成立する。
①にx=0を代入してP(0)=-4であるから-4=-R(0)、R(0)=4・・・③
②にx=1を代入してQ(1)=2であるから、2=R(1)・・・④
R(x)はx=0とx=1で値が異なるから、定数ではなく、次数が最小とおける。③、④からa・0+b=0、a+b=2 これからa=-2、b=4
よって、f(x)=x(x-1)(-2x+4)=-2x3+6x2-4x
(2) f(x)=-2x3+6x2-4xについて、f'(x)=-6x2+12x-4、点(r,f(r))における接線の方程式はy-f(r)=(-6r2+12r-4)(x-r)
y=(-6r2+12r-4)x+4r3-6r2・・・⑤ 傾きは-6r2+12r-4、y切片は4r3-6r2
(3) ⑤が点(s,t)を通ることから、t=(-6r2+12r-4)s+4r3-6r2
4r3-6(s+1)r2+12sr-4s-t=0、g(r)=4r3-6(s+1)r2+12sr-4s-tとおくと、g'(r)=12r2-12(s+1)r+12=12(r-1)(r-s)であり、方程式g(r)=0が異なる2つの解を持つ条件は、g(r)の極値が存在し、極値の積が0であること。つまり、s≠1かつg(1)g(s)=0である。
g(1)=4-6(s+1)+12s-4s-t=2s-t-2、g(s)=4s3-6(s+1)s2+12s2-4s-t=-(2s3-6s2+4s+t)であるから求める条件は
s≠1かつ(2s-t-2)(2s3-6s2+4s+t)=0

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2854時間目 ~総合問題~

R1年第一回漢字検定一級模範解答

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鼈甲

お久しぶりです。たまに解きに来るやーつ。

特別A(1) には今回だけの簡単な別法があります。
直線ACは平面x=3上に、直線BDは平面x=2上にあることに着目すれば
不明な点DがA,B,Cと同一平面上にあることはAC//BDであることと言い換えられます。
(念の為証明… 線分AC,BDは平行な2平面にそれぞれあるので交わらない。交わらない2直線が同一平面T上にあるとは平行なことに他ならない。平行でなければ捻れの位置となる。)
ベクトルAC=(0, 2, -2), BD=(0, a-3, b-2) なので
AC//BD ⇔ 2 : -2 = a-3 : b-2 ⇔ a-3=-(b-2) ⇔ a+b-5=0.
また B≠D より (a, b)≠(3, 2).

特別B(3) は文章的な表現で纏めたものも知られていますね。
答は s≠1 かつ ( t=2(s-1) または t=f(s) ) とも書けるので、
即ち、点(s, t)から3次関数のグラフCへの接線が2本である条件は
「(s, t)がCの変曲点でなく、かつ(Cの変曲点における接線上にあるか、C上にある)こと」といえます。
「Cの変曲点とx座標を異にし~」を「Cの変曲点でなく~」とできる理由は略。

蛇足。これは一般論として導出することもできます。
g(r) = -t + f(r) + f'(r)(s-r) とおいたのだった。
まあこれがrの丁度3次式であることを使うからどのみち展開するんですが
展開せずこのまま微分すれば
g'(r) = f'(r) + f''(r)(s-r) + f'(r)(-1) = f''(r)(s-r).
g(r) に2つ極値が存在してそのどちらかが0であるから
g'(r) = f''(r)(s-r) = 0 ⇔ r=1 (一般には変曲点を与える値) または r=s.
極値が2つなので s≠1.
r=1 のとき g(1) = 0 ⇔ t-f(1) = f'(1)(s-1) ⇔ t = 2(s-1).
r=s のとき g(s) = 0 ⇔ t-f(s) = f'(s)(s-s) ⇔ t = f(s).

2019年06月20日 10:04

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飯匙倩蓬瀛

Re: タイトルなし

ふむふむ、なかなか参考になりますな。
実のところ2018年からは数学の問題の取り寄せ本が変わったのもあって結構変わった解答をするんですよね。
17年までは一般論重視(そのためか高校向けじゃねーぞ)でしたが一般論ではということで参考にさせていただきます

2019年06月20日 16:24

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