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2851時間目 ~総合問題~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 循べて作らず

Ⅱ 機宜

Ⅲ 流戸

Ⅳ 浴仏日

レベルⅡ

Ⅰ 恢達

Ⅱ 慢業重畳

Ⅲ 唾罵

レベルⅢ

Ⅰ 嘐戞

Ⅱ 庖儈

Ⅲ 凹嶮

特別問題A~数学~

1辺の長さが3の正四面体ABCDにおいて辺CDを1:2に内分する点をEとし、点Dから△EABに垂線DHを下ろす。次の問いに答えよ。

(1) 線分AEの長さを求めよ。
(2) △EABの面積を求めよ。
(3) 正四面体ABCDの体積Vを求めよ。
(4) 線分DHの長さを求めよ。 
[山形大]

特別問題B~数学~

a4=b2+2cを満たす正の整数の組(a,b,c)でaが奇数であるものを求めよ。 [一橋大]


2851時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 循べて作らず・・・の(べて)つく(らず)
意味:昔の成人の教説を受け継ぎ述べるだけで、新しいことは言わない。

Ⅱ 機宜・・・きぎ
意味:あることにちょうど適した時機。時機に応じていること。
例:今から勉強するには素晴らしい機宜だ。

Ⅲ 流戸・・・りゅうこ
意味:住所を定めず一家でさすらう者。
例:メキシコの壁で流戸している人たちがたむろしている。

Ⅳ 浴仏日・・・よくふつにち
意味:陰暦4月8日の釈迦の誕生日。

レベルⅡ

Ⅰ 恢達・・・かいたつ
意味:心が広くて大きい。
例:恢達な人間なほど損をする世界である。

Ⅱ 慢業重畳・・・まんごうじゅうじょう
意味:この上なく傲慢なこと。

Ⅲ 唾罵・・・だば
意味:つばを吐きかけてののしる。
例:ひたすら相手に唾罵するだけであった。

レベルⅢ

Ⅰ 嘐戞・・・こうかつ
意味:鳥のやかましく鳴く声。
例:ファーブルは鳥が嘐戞という理由で鳥を撃ち落としたことがある。

Ⅱ 庖儈・・・ほうかい
意味:老巧な料理人。
例:この店を仕切っているのは庖儈な料理人だ。

Ⅲ 凹嶮・・・おうけん
意味:土地が落ちくぼんで険しいこと。
例:なかなか凹嶮な山道で登山難易度は高い。

特別問題A~数学~

(1) △ACEにおいて余弦定理より
AE2=AC2+CE2-2AC・CEcos60°=32+12-2・3・1・1/2=7
AE>0よりAE=√7
(2) △EABはAE=BEの二等辺三角形だから、辺ABの中点をMとすると
EM=√(AE2-AM2)=√{7-(3/2)2}=√19/2 よって△EABの面積Sは
S=1/2・AB・EM=1/2・3・√19/2=3√19/4
(3) 正三角形ABCの面積S'=1/2・32・sin60°=9√3/4
また、正三角形ABCの重心をGとするとDG=√(CD2-CG2)=√{32-(2/3・3√3/2)2}=√6
よって正四面体ABCDの体積VはV=1/3・S'・DG=1/3・9√3/4・√6=9√2/4
(4) 正四面体DABEの体積に着目して1/2・S・DH=2V/3
よって、1/3・3√19/4・DH=2/3・9√2/4 ゆえにDH=6√2/19=
6√38/19

特別問題B~数学~

a4=b2+2cとaが奇数であることから、bも奇数である。また、(a2+b)(a2-b)=2c
a2+b、a2-bはともに偶数であり、a2+b>a2-b
a2+b>0よりa2+b=2k、a2-b=2l (k>l≧1)と書ける。但し、k,lはk+l=c・・・①を満たす整数である。
a2,bについて解いてa2=2k-1+2l-1、b=2k-1-2l-1
k≧2より2k-1は偶数で、また、a2は奇数であるから、2l-1は奇数である。よって、l=1であり、a2=2k-1+1・・・②、b=2k-1-1・・・③である
②より(a+1)(a-1)=2k-1、a+1>a-1≧0であるから、a+1=2p・・・④、a-1=2q・・・⑤と書ける。ただし、p,qはp>q≧0とp+q=k-1・・・⑥を満たす整数である。
④-⑤より、2=2p-2q ∴2q(2p-q-1)=2
p-q≧1より2p-q-1は正の奇数であるから2q=2、2p-q-1=1 ∴q=1、p=2
⑥よりk=4であるから、①、③、④より
(a,b,c)=(3,7,5)

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