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2819時間目 ~総合問題~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 尺も短き所あり、寸も長き所あり

Ⅱ 純吏

Ⅲ 公憤

Ⅳ 仙仙

レベルⅡ

Ⅰ 回鯉

Ⅱ 絳帳

Ⅲ 朝盈夕虚

レベルⅢ

Ⅰ 水沴

Ⅱ 皭皭

Ⅲ 直轡

特別問題A~数学~

頭脳王ではしばしば「積み重ねられたブロックの数(または体積)」を求める問題が出題される。ここで、一番上がn個で1段ごとにブロックがnずつ増えるものとし、それがm段あるものを、(n,m)で表すことにする。次の問に答えよ。

(1) 1番上がn個とするとき、m段目のブロックの個数をm,nを用いて表せ。
(2) (1,m)を求めよ。
(3) (n,m)を求めよ。
(4) 一辺が2cmとして、の立体の体積を求めよ。

特別問題B~数学~

2以上の整数m,nはm3+13=n3+103を満たす。m,nを求めよ。 [一橋大]


2819時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 尺も短き所あり、寸も長き所あり・・・しゃく(も)みじか(き)ところ(あり、)すん(も)なが(き)ところ(あり)
意味:人はすべて短所長所があるが、その用い方によって善し悪しが決まるものである。

Ⅱ 純吏・・・じゅんり
意味:まじめに職務に尽くす役人。忠実な官吏。
例:今の官僚の中の純吏の割合が知りたい。

Ⅲ 公憤・・・こうふん
意味
①:正義の立場からの怒り。
②:民衆全ての憤り。
例:今までの国会の流れからそれが公憤となってデモが起こったのだ。

Ⅳ 仙仙・・・せんせん
意味:ひらひらと舞うさま。
例:仙仙として雪が舞っている。

レベルⅡ

Ⅰ 回鯉・・・かいり
意味:返事の手紙。返書。
例:ファンの回鯉を書く暇がないほど忙しい。

Ⅱ 絳帳・・・こうちょう
意味
①:赤い色のとばり。
②:師の席。学者の居室。転じて、恩師。
例:難解な問題を質問しに絳帳へ行く。

Ⅲ 朝盈夕虚・・・ちょうえいゆうきょ
意味:人生のはかないことのたとえ。

レベルⅢ

Ⅰ 水沴・・・すいれい
意味:水の災害。水害。
例:2018年は水沴が猛威を振るった年であった。

Ⅱ 皭皭・・・しゃくしゃく
意味:潔白な様子。
例:自分はやってない、皭皭だと言い残して連れていかれた。

Ⅲ 直轡・・・ちょくひ
意味:まっすぐに通ずる道。直進。

特別問題A~数学~

(1) n個のブロックが1段ごとにnずつ増えていくので、n個のブロックのm段目のブロックの数はnm個
(2) 1個のブロックが1つずつ増えていくことより、ブロックのm段目の数はmである。
したがって、これは初項が1の等差数列あるので求めるブロックの数はm(m+1)/2
(3) n個のブロックがnずつ増えていくことより、これは(2)と同様に考えて初項n、公差nの等差数列である。
したがって、(n,m)=nm(m+1)/2
(4) 1つのブロックの体積は8cm3であり、n=7、m=9である。これを(3)に代入して8×{7×9(9+1)}/2=
2520cm3

特別問題B~数学~

m3+13=n3+103・・・①⇔m3-n3=999⇔(m-n)(m2+mn+n2)=32・37
ここで、①よりm3>n3であるからm-n>0 m≧2、n≧2より m2+mn+n2≧2m+2m+4>4m>4(m-n) ∴4(m-n)<m2+mn+n2
よって、(m-n,m2+mn+n2)=(1,999),(3,333),(9,111)
m-n=1、m2+mn+n2=999のとき、(n+1)2+n(n+1)+n2=999
3n2+3n+1=999 右辺は3の倍数であるから矛盾。
m-n=3、m2+mn+n2=333のとき、(n+3)2+n(n+3)+n2=333
3n2+9n+9=333 n2+3n-108=0 (n-9)(n+12)=0 ∴n=9,m=12
m-n=9、m2+mn+n2=111のとき (n+9)2+n(n+9)+n2=111
3n2+27n-30=0 n2+9n-10=0 (n-1)(n+10)=0 n≧2であるからこれは不適である。
以上より、求める解は
m=12、n=9

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