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2777時間目 ~諺・四字熟語~

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 觚觚ならず

Ⅱ 猢猻布袋に入る

Ⅲ 山木自ら寇す

Ⅳ 塵も灰も付かぬ

Ⅴ 遠網を掛ける

Ⅵ 鳥革翬飛

Ⅶ 矮人観場

Ⅷ 智徳俊英

Ⅸ 翻天覆地

Ⅹ 摳心挖肝

特別問題A~数学~

赤玉2個と白玉2個が入ってる袋から、玉を次々と取り出していく。赤玉が2個出るまでに取り出す玉の期待値を求めよ。但し、取り出した玉は袋に戻さないものとする。 [津田塾大]

特別問題B~数学~

関数f(x)=b+1/b-eax-e-axについて以下の問いに答えよ。但し、a>0、b>1とする。

(1) f(x)≧0を満たすxの範囲を求めよ。
(2) y=√f(x)とx軸で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。
(3) a=blogbのとき、(2)で求めた体積をV(b)と表す。このとき$\displaystyle\lim_{b\to\infty}V(b)=2\pi$となることを示せ。 
[筑波大]


2777時間目模範解答

Ⅰ 觚觚ならず・・・ここ(ならず)
意味:名ばかりで実質が無いこと。

Ⅱ 猢猻布袋に入る・・・こそんふたい(に)い(る)
意味:仕官して自由を束縛されるたとえ。

Ⅲ 山木自ら寇す・・・さんぼくみずか(ら)あだ(す)
意味:才器のある人が才器のために災いを受けるたとえ。

Ⅳ 塵も灰も付かぬ・・・ちり(も)はい(も)つ(かぬ)
意味:きっぱりと言い放つさま。

Ⅴ 遠網を掛ける・・・とおあみ(を)か(ける)
意味:遠回しの計略で人を陥れるたとえ。

Ⅵ 鳥革翬飛・・・ちょうかくきひ
意味:家の造りが美しくて立派なこと。

Ⅶ 矮人観場・・・わいじんかんじょう
意味:見識の無いことのたとえ。

Ⅷ 智徳俊英・・・ちとくしゅんえい
意味:すぐれた知識と道徳を兼ね備えること。また、その人。

Ⅸ 翻天覆地・・・ほんてんふつち
意味:大きく変化すること。また、社会の秩序が大きく乱れること。

Ⅹ 摳心挖肝・・・こうしんあったん
意味:びっくりすること。

特別問題A~数学~

赤玉が2個出るまでに取り出す玉の個数をXとおくと、Xの取り得る値はX={2,3,4}
X=2となる確率をP(X=2)のようにあらわすと
P(X=2)=2/4・1/3=1/6
X=3となる確率は赤白赤または白赤赤の時だから
P(X=3)=2/4・2/3・1/2+2/4・2/3・1/3=1/3
余事象よりP(X=4)=1-{P(X=2)+P(X=3)}=1/2
よって求める期待値は
2×1/6+3×1/3+4×1/2=10/3

特別問題B~数学~

(1) b+1/b-eax-e-ax≧0 (a>0、b>1)⇔(eax)2-(b+1/b)eax+1≦0⇔(eax-b)(eax-1/b)≦0
b>1よりb>1/bであるから1/b≦eax≦b⇔-logb≦ax≦logb a>0より求めるxの範囲は
-logb/a≦x≦logb/a
(2) f(x)=f(-x)であるからy=√f(x) (f(x)≧0)はy軸対称のグラフである。したがって、c=logb/aとおくと
$\frac{V}{2}=\int^c_0 \pi y^2dx$

$=\int^c_0\pi f(x)dx$

$=\pi\int^c_0(b+\frac{1}{b}-e^{ax}-e^{-ax})dx$

$=\pi[(b+\frac{1}{b})x-\frac{1}{a}e^{ax}+\frac{1}{a}e^{-ax}]^{\frac{\log b}{a}}_0$

$=\pi\{(b+\frac{1}{b})\frac{\log b}{a}-\frac{b}{a}+\frac{1}{ab}\}$
∴$V=\frac{2\pi}{a}\{(b+\frac{1}{b})\log b-b+\frac{1}{b}\}$
(3) (2)の結果にa=blogbを代入してV(b)=2π{(1+1/b2)-1/logb+1/b2logb}であるから
$\displaystyle \lim_{b\to\infty}V(b)=2\pi$ よって、題意は示された。

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